试题

（2005·南通）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OA、OB的中点．
（1）求证：△ADE≌△BCF；
（2）若AD=4cm，AB=8cm，求CF的长．

（1）证明：∵四边形ABCD为矩形
∴AD=BC，OA=OC，OB=OD，AC=BD，AD∥BC
∴OA=OB=OC，∠DAE=∠OCB（两直线平行，内错角相等）
∴∠OCB=∠OBC
∴∠DAE=∠CBF
又∵AE=

1

2

OA，BF=

1

2

OB
∴AE=BF
∴△ADE≌△BCF；

（2）解：过点F作FG⊥CD于点G，
∴∠DGF=90°
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCB=90°
∴∠DGF=∠DCB
又∵∠FDG=∠BDC
∴△DFG∽△DBC
∴

FG

BC

=

DF

DB

=

DG

DC

由（1）可知F为OB的中点，
所以DF=3FB，得

DF

DB

=

3

4

∴

FG

4

=

3

4

=

DG

8

∴FG=3，DG=6
∴GC=DC-DG=8-6=2
在Rt△FGC中，CF=

FG2+GC2

=

9+4

=

13

cm．
（说明：其他解法可参照给分，如延长CF交AB于点H，利用△DFC∽△BFH计算．）
（1）证明：∵四边形ABCD为矩形
∴AD=BC，OA=OC，OB=OD，AC=BD，AD∥BC
∴OA=OB=OC，∠DAE=∠OCB（两直线平行，内错角相等）
∴∠OCB=∠OBC
∴∠DAE=∠CBF
又∵AE=

1

2

OA，BF=

1

2

OB
∴AE=BF
∴△ADE≌△BCF；

（2）解：过点F作FG⊥CD于点G，
∴∠DGF=90°
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCB=90°
∴∠DGF=∠DCB
又∵∠FDG=∠BDC
∴△DFG∽△DBC
∴

FG

BC

=

DF

DB

=

DG

DC

由（1）可知F为OB的中点，
所以DF=3FB，得

DF

DB

=

3

4

∴

FG

4

=

3

4

=

DG

8

∴FG=3，DG=6
∴GC=DC-DG=8-6=2
在Rt△FGC中，CF=

FG2+GC2

=

9+4

=

13

cm．
（说明：其他解法可参照给分，如延长CF交AB于点H，利用△DFC∽△BFH计算．）