试题

（2005·岳阳）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC上一个动点（不与B、C重合），在AC上取E点，使∠ADE=45度．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式；
（3）当：△ADE是等腰三角形时，求AE的长．

（1）证明：∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，
∴∠ABC=∠ACB=45°．
∵∠ADE=45°，
∴∠BDA+∠CDE=135°．
又∠BDA+∠BAD=135°，
∴∠BAD=∠CDE．
∴△ABD∽△DCE．

（2）解：∵△ABD∽△DCE，
∴

AB

CD

=

BD

CE

；
∵BD=x，
∴CD=BC-BD=

2

-x．
∴

1

2 -x

=

x

CE

，
∴CE=

2

x-x²．
∴AE=AC-CE=1-（

2

x-x²）=x²-

2

x+1．
即y=x²-

2

x+1．

（3）解：∠DAE＜∠BAC=90°，∠ADE=45°，
∴当△ADE是等腰三角形时，第一种可能是AD=DE．
又∵△ABD∽△DCE，
∴△ABD≌△DCE．
∴CD=AB=1．
∴BD=

2

-1．
∵BD=CE，
∴AE=AC-CE=2-

2

．
当△ADE是等腰三角形时，第二种可能是ED=EA．
∵∠ADE=45°，
∴此时有∠DEA=90°．
即△ADE为等腰直角三角形．
∴AE=DE=

1

2

AC=

1

2

．
当AD=EA时，点D与点C重合，不合题意，所以舍去，
因此AE的长为2-

2

或

1

2

．
（1）证明：∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，
∴∠ABC=∠ACB=45°．
∵∠ADE=45°，
∴∠BDA+∠CDE=135°．
又∠BDA+∠BAD=135°，
∴∠BAD=∠CDE．
∴△ABD∽△DCE．

（2）解：∵△ABD∽△DCE，
∴

AB

CD

=

BD

CE

；
∵BD=x，
∴CD=BC-BD=

2

-x．
∴

1

2 -x

=

x

CE

，
∴CE=

2

x-x²．
∴AE=AC-CE=1-（

2

x-x²）=x²-

2

x+1．
即y=x²-

2

x+1．

（3）解：∠DAE＜∠BAC=90°，∠ADE=45°，
∴当△ADE是等腰三角形时，第一种可能是AD=DE．
又∵△ABD∽△DCE，
∴△ABD≌△DCE．
∴CD=AB=1．
∴BD=

2

-1．
∵BD=CE，
∴AE=AC-CE=2-

2

．
当△ADE是等腰三角形时，第二种可能是ED=EA．
∵∠ADE=45°，
∴此时有∠DEA=90°．
即△ADE为等腰直角三角形．
∴AE=DE=

1

2

AC=

1

2

．
当AD=EA时，点D与点C重合，不合题意，所以舍去，
因此AE的长为2-

2

或

1

2

．