试题

题目：
（2006·滨州）如图，已知直角三角形ABC，
（Ⅰ）试作出经过点A，圆心O在斜边AB上，且与边BC相切于点E的⊙O及切点E和圆青果学院心O（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（Ⅱ）设（Ⅰ）中所作的⊙O与边AB交于异于点A的另一点D．
求证：
（1）
DE
AE
=
DE
BE
；
（2）EC·BE=AC·BD．
答案
青果学院（Ⅰ）解：如图所示；

（Ⅱ）证明：连接DE，则∠AED=90°，
（1）∵∠4=∠2
∠B=∠B
∴△BDE∽△BEA
∴
DE
AE
=
BD
BE
；（5分）

（2）∵BC切⊙O于E，
∴OE⊥BC．
又∵AC⊥B，
∴OE∥AC．
∴∠1=∠3．
又易知∠2=∠3，
∴∠1=∠2．
又∵∠C=∠AED=90°，
∴Rt△ACE∽Rt△AED．
∴
EC
AC
=
DE
AE
．（7分）
又由（Ⅰ）知，
DE
AE
=
BD
BE
，
EC
AC
=
BD
BE
，
∴EC·BE=AC·BD．（8分）
青果学院（Ⅰ）解：如图所示；

（Ⅱ）证明：连接DE，则∠AED=90°，
（1）∵∠4=∠2
∠B=∠B
∴△BDE∽△BEA
∴
DE
AE
=
BD
BE
；（5分）

（2）∵BC切⊙O于E，
∴OE⊥BC．
又∵AC⊥B，
∴OE∥AC．
∴∠1=∠3．
又易知∠2=∠3，
∴∠1=∠2．
又∵∠C=∠AED=90°，
∴Rt△ACE∽Rt△AED．
∴
EC
AC
=
DE
AE
．（7分）
又由（Ⅰ）知，
DE
AE
=
BD
BE
，
EC
AC
=
BD
BE
，
∴EC·BE=AC·BD．（8分）
考点梳理
相似三角形的判定与性质；角平分线的性质；弦切角定理．
（Ⅰ）作∠BAC的角平分线AE交BC与E，过E点作EO垂直于BC，交AB与O，O即为所求圆心；
（Ⅱ）（1）要证
DE
AE
=
BD
BE
，由组成线段可知只需证明△BDE∽△BEA即可，而∠B为共用角，∠1为弦切角∠4所夹的弧所对的圆周角所以相等，因此有△BDE∽△BEA，即
DE
AE
=
BD
BE
；
（2）要证EC·BE=AC·BD即证
EC
AC
=
BD
BE
，由（1）知
DE
AE
=
BD
BE
，所以需证
EC
AC
=
DE
AE
，即Rt△ACE∽Rt△AED，而在这两个三角形中，都有一个直角，且易证∠1=∠3=∠2，所以可证相似，从而得出所求结论．
此题主要考查了三角形相似和圆之间的关系，难易程度适中．
作图题；代数几何综合题．
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