试题

题目：
青果学院（2006·崇左）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC与BD相交于点E，AB=CD．
（1）求证：AC=BD；
（2）若F是⊙O上一点，且
CF
=
AD
，AF的延长线与DB的延长线交于点P，求证：ED2=EB·EP．
答案
证明：（1）∵AB=CD，AD=AD，
∴∠DAC=∠ADB，∠C=∠D，
∴△ADC≌△DBA（SAS）．
∴AC=BD．

（2）∵
CF
=
AD
，
∴∠CAF=∠DBA．
∵∠AEB=∠PEA，
∴△AEB∽△PEA．
∴EA2=EB·EP．
∵EA=ED，
∴ED2=EB·EP．
证明：（1）∵AB=CD，AD=AD，
∴∠DAC=∠ADB，∠C=∠D，
∴△ADC≌△DBA（SAS）．
∴AC=BD．

（2）∵
CF
=
AD
，
∴∠CAF=∠DBA．
∵∠AEB=∠PEA，
∴△AEB∽△PEA．
∴EA2=EB·EP．
∵EA=ED，
∴ED2=EB·EP．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；圆内接四边形的性质．
（1）根据题意可知AB=CD，∠DAC=∠ADB，∠C=∠D，所以△ADC≌△DBA，则AC=BD；
（2）利用同弧所对的圆周角相等可知∠CAF=∠DBA，利用AA可得到△AEB∽△PEA，则EA2=EB·EP，利用等量代换可知ED2=EB·EP．
本题考查三角形相似，全等的判定方法和圆的有关性质．要掌握这些性质和方法才会在综合题中灵活运用．
证明题；压轴题．
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