试题

（2006·哈尔滨）已知：如图，圆O₁与圆O₂外切于点P，经过圆O₁上一点A作圆O₁的切线交圆O₂于B、C两点，直线AP交圆O₂于点D，连接DC、PC．
（1）求证：DC²=DP·DA；
（2）若圆O₁与圆O₂的半径之比为1：2，连接BD，BD=4

6

，PD=12，求AB的长．

（1）证明：过点P作两圆的内公切线EP交AB于点F，
∵FE、CA都与圆O₁相切，
∴FP=FA，
∴∠FAP=∠FPA；
∵∠FPA=∠EPD=∠DCP，
∴∠FAP=∠DCP；
∵∠PDC=∠CDA，
∴△CDP∽△ADC；
∴

CD

AD

=

DP

CD

；
∴DC²=DP·DA．

（2）解：连接O₁O₂，则点P在O₁O₂上，连接O₁A、O₂D，
∵O₁A=O₁P，
∴∠O₁AP=∠O₁PA；
又∵O₂P=O₂D，
∴∠O₂DP=∠O₂PD，
∴∠O₁AP=∠O₂DP；
∴O₁A∥O₂D，
∴

PA

PD

=

O1P

O2P

=

1

2

；
∴DP=2PA，
∵DP=12
∴PA=6，
由（1）中△CDP∽△ADC，得∠DCB=∠APC，

PC

AC

=

CD

AD

；
∵∠APC=∠DBC，
∴∠DCB=∠DBC；
∴DC=BD=4

6

；
∵DP=12，AP=4，
∴AD=AP+DP=16；
∴

12

AC

=

4 6

16

，
∴AC=48

6

．
由AP·AD=AB·AC，得4×12=48

6

AB，
∴AB=

6

．
（1）证明：过点P作两圆的内公切线EP交AB于点F，
∵FE、CA都与圆O₁相切，
∴FP=FA，
∴∠FAP=∠FPA；
∵∠FPA=∠EPD=∠DCP，
∴∠FAP=∠DCP；
∵∠PDC=∠CDA，
∴△CDP∽△ADC；
∴

CD

AD

=

DP

CD

；
∴DC²=DP·DA．

（2）解：连接O₁O₂，则点P在O₁O₂上，连接O₁A、O₂D，
∵O₁A=O₁P，
∴∠O₁AP=∠O₁PA；
又∵O₂P=O₂D，
∴∠O₂DP=∠O₂PD，
∴∠O₁AP=∠O₂DP；
∴O₁A∥O₂D，
∴

PA

PD

=

O1P

O2P

=

1

2

；
∴DP=2PA，
∵DP=12
∴PA=6，
由（1）中△CDP∽△ADC，得∠DCB=∠APC，

PC

AC

=

CD

AD

；
∵∠APC=∠DBC，
∴∠DCB=∠DBC；
∴DC=BD=4

6

；
∵DP=12，AP=4，
∴AD=AP+DP=16；
∴

12

AC

=

4 6

16

，
∴AC=48

6

．
由AP·AD=AB·AC，得4×12=48

6

AB，
∴AB=

6

．