试题

（2006·莱芜）如图，在△ABC中，AB=AC=1，点D，E在直线BC上运动．设BD=x，CE=y．
（1）如果∠BAC=30°，∠DAE=105°，试确定y与x之间的函数关系式；
（2）如果∠BAC=α，∠DAE=β，当α，β满足怎样的关系时，（1）中y与x之间的函数关系式还成立？试说明理由．

解：（1）在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=30°，
∴∠ABC=∠ACB=75°，
∴∠ABD=∠ACE=105°，
∵∠DAE=105°，
∴∠DAB+∠CAE=75°，
又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°，
∴∠CAE=∠ADB，
∴△ADB∽△EAC，
∴

AB

EC

=

BD

AC

即

1

y

=

x

1

，所以y=

1

x

；

（2）当α、β满足关系式β-

α

2

=90°时，函数关系式y=

1

x

成立，
理由如下：∵β-

α

2

=90°，
∴β-α=90°-

α

2

．
又∵∠EAC=∠DAE-∠BAC-∠DAB=β-α-∠DAB，
∠ADB=∠ABC-∠DAB=90°-

α

2

-∠DAB，
∴∠ADB=∠EAC；
又∵∠ABD=∠ECA，
∴△ADB∽△EAC，
∴

AB

EC

=

BD

AC

，
∴

1

y

=

x

1

，
∴y=

1

x

．
解：（1）在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=30°，
∴∠ABC=∠ACB=75°，
∴∠ABD=∠ACE=105°，
∵∠DAE=105°，
∴∠DAB+∠CAE=75°，
又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°，
∴∠CAE=∠ADB，
∴△ADB∽△EAC，
∴

AB

EC

=

BD

AC

即

1

y

=

x

1

，所以y=

1

x

；

（2）当α、β满足关系式β-

α

2

=90°时，函数关系式y=

1

x

成立，
理由如下：∵β-

α

2

=90°，
∴β-α=90°-

α

2

．
又∵∠EAC=∠DAE-∠BAC-∠DAB=β-α-∠DAB，
∠ADB=∠ABC-∠DAB=90°-

α

2

-∠DAB，
∴∠ADB=∠EAC；
又∵∠ABD=∠ECA，
∴△ADB∽△EAC，
∴

AB

EC

=

BD

AC

，
∴

1

y

=

x

1

，
∴y=

1

x

．