试题

（2013·思明区一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CB=CA=

2

，点E、F在线段AB上（不与端点A、B重合），且∠ECF=45°．
（1）求证：BF·AE=2；
（2）判断BE、EF、FA三条线段所组成的三角形的形状，并说明理由．

（1）证明：∵∠ACB=90°，CB=CA=

2

，
∴∠A=∠B=

180°-∠ACB

2

=45°．
∵∠ECF=45°，
∴∠B=∠ECF，
又∵∠CEF=∠B+∠BCE=45°+∠BCE，
∠BCF=∠ECF+∠BCE=45°+∠BCE，
∴∠CEF=∠BCF．
∴△BCF∽△AEC．
∴

BF

AC

=

BC

AE

，
∴BF·AE=AC·BC=

2

·

2

=2；

（2）解：BE、EF、FA三条线段所组成的三角形是直角三角形．
（解法一）如图1，将CE绕点C顺时针旋转90°得到CG，连结GA，GF，
∵∠BCE+∠ECA=∠ACG+∠ECA=90°
∴∠BCE=∠ACG．
∵在△BCE与△ACG中，

CE=CG ∠BCE=∠ACG BC=CA

，
∴△BCE≌△ACG（SAS），
∴∠B=∠CAG=45°，BE=AG，
∴∠FAG=∠FAC+∠CAG=90°．
在Rt△FAG中，∠FAG=90°，
∴FG²=AG²+AF²=BE²+AF²．
又∵∠ECF=45°，
∴∠FCG=∠ECG-∠ECF=45°=∠ECF．
∵在△BCF与△GCF中，

EC=CG ∠FCG=∠ECF CF=CF

，
∴△ECF≌△GCF（SAS）．
∴EF=GF，
∴EF²=BE²+AF²．
∴BE、EF、FA三条线段所组成的三角形是直角三角形．
（解法二）如图，过A作AG⊥AF，使得AG=BE，连结GF，
∴∠CAG=∠BAG-∠BAC=45°=∠B．
∵在△BCE与△ACG中，

CE=CG ∠BCE=∠ACG BC=CA

，
∴△BCE≌△ACG（SAS）．
∴CE=CG，∠BCE=∠ACG．
∵∠ECG=∠ACG+∠ECA=∠BCE+∠ECA=90°，
∴∠FCG=∠ECG-∠FCG=45°=∠ECF．
∵在△BCF与△GCF中，

EC=CG ∠FCG=∠ECF CF=CF

∴△ECF≌△GCF（SAS）．
∴EF=GF，
在Rt△FAG中，∠FAG=90°，
∴FG²=AG²+AF²=BE²+AF²．
∴EF²=BE²+AF²．
∴BE、EF、FA三条线段所组成的三角形是直角三角形．
（解法三）∵CB=CA=

2

，∠ACB=90°，
∴AB=

CB2+AC2

=2．
∴BE+EF+FA=2．
设BE=a，EF=b，FA=c，
则a+b+c=2．
∴（a+b+c）²=4，
即a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=4．①
又∵BF·AE=2，
∴（a+b）（b+c）=2，即ab+ac+b²+bc=2．②
①-②×2得：a²+c²-b²=0，
即a²+c²=b²，EF²=BE²+AF²．
∴BE、EF、FA三条线段所组成的三角形是直角三角形．
（1）证明：∵∠ACB=90°，CB=CA=

2

，
∴∠A=∠B=

180°-∠ACB

2

=45°．
∵∠ECF=45°，
∴∠B=∠ECF，
又∵∠CEF=∠B+∠BCE=45°+∠BCE，
∠BCF=∠ECF+∠BCE=45°+∠BCE，
∴∠CEF=∠BCF．
∴△BCF∽△AEC．
∴

BF

AC

=

BC

AE

，
∴BF·AE=AC·BC=

2

·

2

=2；

（2）解：BE、EF、FA三条线段所组成的三角形是直角三角形．
（解法一）如图1，将CE绕点C顺时针旋转90°得到CG，连结GA，GF，
∵∠BCE+∠ECA=∠ACG+∠ECA=90°
∴∠BCE=∠ACG．
∵在△BCE与△ACG中，

CE=CG ∠BCE=∠ACG BC=CA

，
∴△BCE≌△ACG（SAS），
∴∠B=∠CAG=45°，BE=AG，
∴∠FAG=∠FAC+∠CAG=90°．
在Rt△FAG中，∠FAG=90°，
∴FG²=AG²+AF²=BE²+AF²．
又∵∠ECF=45°，
∴∠FCG=∠ECG-∠ECF=45°=∠ECF．
∵在△BCF与△GCF中，

EC=CG ∠FCG=∠ECF CF=CF

，
∴△ECF≌△GCF（SAS）．
∴EF=GF，
∴EF²=BE²+AF²．
∴BE、EF、FA三条线段所组成的三角形是直角三角形．
（解法二）如图，过A作AG⊥AF，使得AG=BE，连结GF，
∴∠CAG=∠BAG-∠BAC=45°=∠B．
∵在△BCE与△ACG中，

CE=CG ∠BCE=∠ACG BC=CA

，
∴△BCE≌△ACG（SAS）．
∴CE=CG，∠BCE=∠ACG．
∵∠ECG=∠ACG+∠ECA=∠BCE+∠ECA=90°，
∴∠FCG=∠ECG-∠FCG=45°=∠ECF．
∵在△BCF与△GCF中，

EC=CG ∠FCG=∠ECF CF=CF

∴△ECF≌△GCF（SAS）．
∴EF=GF，
在Rt△FAG中，∠FAG=90°，
∴FG²=AG²+AF²=BE²+AF²．
∴EF²=BE²+AF²．
∴BE、EF、FA三条线段所组成的三角形是直角三角形．
（解法三）∵CB=CA=

2

，∠ACB=90°，
∴AB=

CB2+AC2

=2．
∴BE+EF+FA=2．
设BE=a，EF=b，FA=c，
则a+b+c=2．
∴（a+b+c）²=4，
即a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=4．①
又∵BF·AE=2，
∴（a+b）（b+c）=2，即ab+ac+b²+bc=2．②
①-②×2得：a²+c²-b²=0，
即a²+c²=b²，EF²=BE²+AF²．
∴BE、EF、FA三条线段所组成的三角形是直角三角形．