试题

（2013·松江区二模）如图，已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，点D在边AC上，△ABD沿BD翻折，点A与BC边上的点E重合，过点B作BG∥AC交AE的延长线于点G，交DE的延长线于点F．
（1）当∠ABC=60°时，求CD的长；
（2）如果AC=x，AD=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；
（3）联结CG，如果∠ACB=∠CGB，求AC的长．

解：（1）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=60°，
∵AB=4，
∴AC=ABtan60°=4

3

．
由翻折得∠ABD=30°，得AD=ABtan30°=

4 3

3

，
∴CD=AC-AD=

8 3

3

；

（2）由翻折得∠BED=∠BAD=90°，
∴∠CED=90°，
∴∠CED=∠CAB，
又∵∠DCE=∠DCE，
∴△CED∽△CAB，
∴

ED

AB

=

CE

CA

，
∵根据折叠的性质得到：ED=AD=y，EC=BC-AB=BC-4，
又由勾股定理知BC=

AB2+AC2

=

16+x2

，
∴

y

4

=

16+x2 -4

x

，
∴y=

4 16+x2 -16

x

（x＞0）；

（3）过点C作CH⊥BG，垂足为H．
∵BG∥AC，
∴∠1=∠2，
∵∠1=∠CGB，
∴∠2=∠CGB，
∴CB=CG．
∴BH=HG=AC=x，∴BG=2x．
∵AE⊥BD，
∴∠5+∠6=∠6+∠7=90°，
∴∠5=∠7．
又∵∠BAC=∠ABG=90°，
∴△ABD∽△BGA，
∴

AB

BG

=

AD

BA

，即

4

2x

=

4 16+x2 -16 x

4

，
解得x=2

5

（负值已舍），即AC=2

5

．
解：（1）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=60°，
∵AB=4，
∴AC=ABtan60°=4

3

．
由翻折得∠ABD=30°，得AD=ABtan30°=

4 3

3

，
∴CD=AC-AD=

8 3

3

；

（2）由翻折得∠BED=∠BAD=90°，
∴∠CED=90°，
∴∠CED=∠CAB，
又∵∠DCE=∠DCE，
∴△CED∽△CAB，
∴

ED

AB

=

CE

CA

，
∵根据折叠的性质得到：ED=AD=y，EC=BC-AB=BC-4，
又由勾股定理知BC=

AB2+AC2

=

16+x2

，
∴

y

4

=

16+x2 -4

x

，
∴y=

4 16+x2 -16

x

（x＞0）；

（3）过点C作CH⊥BG，垂足为H．
∵BG∥AC，
∴∠1=∠2，
∵∠1=∠CGB，
∴∠2=∠CGB，
∴CB=CG．
∴BH=HG=AC=x，∴BG=2x．
∵AE⊥BD，
∴∠5+∠6=∠6+∠7=90°，
∴∠5=∠7．
又∵∠BAC=∠ABG=90°，
∴△ABD∽△BGA，
∴

AB

BG

=

AD

BA

，即

4

2x

=

4 16+x2 -16 x

4

，
解得x=2

5

（负值已舍），即AC=2

5

．