试题

题目：
青果学院（2013·松江区模拟）已知：如图，点D、E、F分别在△ABC的边AB、AC、BC上，DF∥AC，BD=2AD，AE=2EC．
（1）求证：EF∥AB；
（2）联结DE，当∠ADE=∠C时，求证：AB=
2
AC．
答案
证明：（1）∵BD=2AD，AE=2EC，
∴
BD
AD
=
AE
EC
，
又∵DF∥AC，青果学院
∴
BD
AD
=
BF
CF
，
∴
AE
EC
=
BF
CF
．，
∴EF∥AB；
（2）∵∠ADE=∠C，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴
AD
AC
=
AE
AD
，
又∵BD=2AD，AE=2EC，
∴AE=
2
3
AC，AD=
1
3
AB，
∴
AB
AC
=
2AC
AB
，
∴AB2=2AC2，
即AB=
2
AC．
证明：（1）∵BD=2AD，AE=2EC，
∴
BD
AD
=
AE
EC
，
又∵DF∥AC，青果学院
∴
BD
AD
=
BF
CF
，
∴
AE
EC
=
BF
CF
．，
∴EF∥AB；
（2）∵∠ADE=∠C，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴
AD
AC
=
AE
AD
，
又∵BD=2AD，AE=2EC，
∴AE=
2
3
AC，AD=
1
3
AB，
∴
AB
AC
=
2AC
AB
，
∴AB2=2AC2，
即AB=
2
AC．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；平行线分线段成比例．
（1）根据：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边即可证明EF∥AB；
（2）联结DE，当∠ADE=∠C时，可证明△ADE∽△ACB，根据相似三角形的性质可得：
AD
AC
=
AE
AD
，再有已知条件即可证明AB=
2
AC．
本题考查了利用一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边和相似三角形的判定和性质．
证明题．
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