试题

（2013·西城区一模）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作FE⊥AB于点E，交AC的延长线于点F．
（1）求证：EF与⊙O相切；
（2）若AE=6，sin∠CFD=

3

5

，求EB的长．

（1）证明：如图，连接OD．
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC．
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠∠B
∴∠ODC=∠B
∴OD∥AB
∴∠ODF=∠AEF
∵EF⊥AB
∴∠ODF=∠AEF=90°
∴OD⊥EF
∵OD是⊙O的半径，
∴EF与⊙O相切；

（2）解：由（1）知，OD∥AB，OD⊥EF．
在Rt△AEF中，sin∠CFD=

AE

AF

=

3

5

，AE=6，
则AF=10．
∵OD∥AB，
∴

OF

AF

=

OD

AE

．
设⊙O的半径为r，
∴

10-r

10

=

r

6

，
解得，r=

15

4

．
∴AB=AC=2r=

15

2

，
∴EB=AB-AE=

15

2

-6=

3

2

．
（1）证明：如图，连接OD．
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC．
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠∠B
∴∠ODC=∠B
∴OD∥AB
∴∠ODF=∠AEF
∵EF⊥AB
∴∠ODF=∠AEF=90°
∴OD⊥EF
∵OD是⊙O的半径，
∴EF与⊙O相切；

（2）解：由（1）知，OD∥AB，OD⊥EF．
在Rt△AEF中，sin∠CFD=

AE

AF

=

3

5

，AE=6，
则AF=10．
∵OD∥AB，
∴

OF

AF

=

OD

AE

．
设⊙O的半径为r，
∴

10-r

10

=

r

6

，
解得，r=

15

4

．
∴AB=AC=2r=

15

2

，
∴EB=AB-AE=

15

2

-6=

3

2

．