试题

（2013·莘县二模）如图，AB为⊙O的直径，过半径OA的中点G作弦CE⊥AB，在

CB

上取一点D，直线CD、ED分别交直线AB于点F和M．
（1）求∠COA和∠FDM的度数；
（2）已知OM=1，MF=3，请求出⊙O的半径并计算tan∠DMF的值．

解：（1）∵OA、OC都是⊙O的半径，且G为OA的中点，
∴在Rt△OCG中，cos∠COG=

1

2

，
∴∠COG=60°即∠COA=60°；
∵

AC

=

AE

=

1

2

CE

，
∴∠EDC=∠COA=60°，
∴∠EDF=120°，即∠FDM=120°；

（2）∵直径AB⊥CE，
∴AB平分CE，即AB垂直平分CE，
∴MC=ME，
∴∠CMA=∠EMA，
又∵∠FMD=∠EMA，
∴∠FMD=∠CMA，
∵∠FDM=∠COM=120°，
∴∠F=∠OCM，
又∵∠FOC=∠COM，
∴△FOC∽△COM，
∴

OF

OC

=

OC

OM

，即OC²=OM·OF=1×（1+3）=4，
∴OC=2，
∴OG=

1

2

OC=1，
∵OM=1，
∴GM=OG+OM=1+1=2．
在Rt△CGO中，CG=OC·sin∠COG=2×

3

2

=

3

，
又∵∠DMF=∠CMA，
∴tan∠DMF=tan∠CMA=

CG

GM

=

3

2

．
故⊙O的半径我2，tan∠DMF=

3

2

．
解：（1）∵OA、OC都是⊙O的半径，且G为OA的中点，
∴在Rt△OCG中，cos∠COG=

1

2

，
∴∠COG=60°即∠COA=60°；
∵

AC

=

AE

=

1

2

CE

，
∴∠EDC=∠COA=60°，
∴∠EDF=120°，即∠FDM=120°；

（2）∵直径AB⊥CE，
∴AB平分CE，即AB垂直平分CE，
∴MC=ME，
∴∠CMA=∠EMA，
又∵∠FMD=∠EMA，
∴∠FMD=∠CMA，
∵∠FDM=∠COM=120°，
∴∠F=∠OCM，
又∵∠FOC=∠COM，
∴△FOC∽△COM，
∴

OF

OC

=

OC

OM

，即OC²=OM·OF=1×（1+3）=4，
∴OC=2，
∴OG=

1

2

OC=1，
∵OM=1，
∴GM=OG+OM=1+1=2．
在Rt△CGO中，CG=OC·sin∠COG=2×

3

2

=

3

，
又∵∠DMF=∠CMA，
∴tan∠DMF=tan∠CMA=

CG

GM

=

3

2

．
故⊙O的半径我2，tan∠DMF=

3

2

．