试题

（2013·新华区一模）已知：等边△ABC的面积为S，D_n，E_n，F_n（n为正整数0分别是AB，BC，CA边上的点，连接D_nE_n，E_nF_n，F_nD_n，可得△D_nE_nF_n．
如图1，当AD₁=BE₁=CF₁=

1

2

AB时，我们容易得到△D₁E₁F₁是等边三角形，且S△AD1F1=S△D1E1F1=

1

4

S．
探究论证：
（1）如图2，当AD₂=BE₂=CF₂=

1

3

AB时，
①△D₂E₂F₂是三角形（填写“等腰”或“等边”或“不等边”）；
②S△AD2F2=；S△D2E2F2=（用含S的代数式表示）；
③请说明以上结论的正确性．
猜想发现：
（2）如图3，当AD_n=BE_n=CF_n=

1

n+1

AB时，
①△D_nE_nF_n是三角形（填写“等腰”或“等边”或“不等边”）；
②S△ADnFn=；S△DnEnFn=（用含S的代数式表示）．
实际应用：
（3）学校有一块面积为49m²的等边△ABC空地，按如图4所示分割，其中AD₆=BE₆=CF₆=

1

7

AB，计划在△D₆E₆F₆内栽种花卉，其余地方铺草坪，则栽种花卉（即阴影部分）的面积为多少m²？

解：（1）①等边；②

2

9

S，

1

3

S；
③证明：
①∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°．
又∵AD₂=BE₂=CF₂=

1

3

AB，
∴AF2=BD2=CE2=

2

3

AB，
则易证△AD₂F₂≌△BE₂D₂，△AD₂F₂≌△CF₂E₂，△BE₂D₂≌△CF₂E₂．（或△AD₂F₂≌△BE₂D₂≌△CF₂E₂）．
∴D₂F₂=E₂D₂=F₂E₂，
∴△D₂E₂F₂是等边三角形；
②如图，过点D₂作D₂M∥BC，交AC于点M，
则△AD₂M∽△ABC，
∴

AM

AC

=

AD2

AB

=

1

3

，
∴AM=

1

3

AC，
∴点M是的AF₂中点．
∴

S△AD2M

S△ABC

=(

AD2

AB

)2=(

1

3

)2=

1

9

，即S△AD2M=

1

9

S，
∴S△AD2F2=2S△AD2M=

2

9

S，S△D2E2F2=S-3S△AD2F2=

1

3

S；

（2）①等边；
②

n

(n+1)2

S，

n2-n+1

(n+1)2

S；

（3）∵S=49，AD6=BE6=CF6=

1

7

AB，
∴S△D6E6F6=

62-6+1

(6+1)2

×49=31（m²）．
∴栽种花卉（即阴影部分）的面积为31m²．