试题

（2013·徐汇区二模）如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE=AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N．
（1）求证：四边形DBEC是平行四边形；                      
（2）如果AD²=AB·AF，求证：CM·AB=DM·CN．

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC=AB．
∵BE=AB，
∴DC=BE．
又∵DC∥BE，
∴四边形DBEC是平行四边形；

（2）∵AD²=AB·AF，
∴

AD

AB

=

AF

AD

，
又∵∠A=∠A，
∴△ADB∽△AFD，
∴∠ADB=∠DFA．
∵DC∥AB，
∴∠CDF=∠DFA．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠ADB=∠DBC．
∵四边形DBEC是平行四边形，
∴CE∥DB，
∴∠MCN=∠DBC，
∴∠MCN=∠CDF．
又∵∠CMN=∠DMC，
∴△CMN∽△CMD，
∴

CM

DM

=

CN

DC

，
∵DC=AB，
∴

CM

DM

=

CN

AB

，
∴CM·AB=DM·CN．
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC=AB．
∵BE=AB，
∴DC=BE．
又∵DC∥BE，
∴四边形DBEC是平行四边形；

（2）∵AD²=AB·AF，
∴

AD

AB

=

AF

AD

，
又∵∠A=∠A，
∴△ADB∽△AFD，
∴∠ADB=∠DFA．
∵DC∥AB，
∴∠CDF=∠DFA．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠ADB=∠DBC．
∵四边形DBEC是平行四边形，
∴CE∥DB，
∴∠MCN=∠DBC，
∴∠MCN=∠CDF．
又∵∠CMN=∠DMC，
∴△CMN∽△CMD，
∴

CM

DM

=

CN

DC

，
∵DC=AB，
∴

CM

DM

=

CN

AB

，
∴CM·AB=DM·CN．