试题

题目：
青果学院（2013·徐汇区一模）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D．
（1）求证：AE·BC=BD·AC；                  
（2）如果S△ADE=3，S△BDE=2，DE=6，求BC的长．
答案
（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE．…（1分）
∵DE∥BC，
∴∠DEB=∠CBE…（1分）
∴∠ABE=∠DEB．
∴BD=DE，…（1分）
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
AE
AC
=
DE
BC
…（1分）
∴
AE
AC
=
BD
BC
，
∴AE·BC=BD·AC；…（1分）

（2）解：设△ABE中边AB上的高为h．
∴
S△ADE
S△BDE
=
1
2
AD·h
1
2
BD·h
=
AD
BD
=
3
2
，…（2分）
∵DE∥BC，
∴
DE
BC
=
AD
AB
． …（1分）
∴
6
BC
=
3
5
，
∴BC=10． …（2分）
（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE．…（1分）
∵DE∥BC，
∴∠DEB=∠CBE…（1分）
∴∠ABE=∠DEB．
∴BD=DE，…（1分）
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
AE
AC
=
DE
BC
…（1分）
∴
AE
AC
=
BD
BC
，
∴AE·BC=BD·AC；…（1分）

（2）解：设△ABE中边AB上的高为h．
∴
S△ADE
S△BDE
=
1
2
AD·h
1
2
BD·h
=
AD
BD
=
3
2
，…（2分）
∵DE∥BC，
∴
DE
BC
=
AD
AB
． …（1分）
∴
6
BC
=
3
5
，
∴BC=10． …（2分）
考点梳理
相似三角形的判定与性质．
（1）由BE平分∠ABC交AC于点E，ED∥BC，可证得BD=DE，△ADE∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AE·BC=BD·AC；
（2）根据三角形面积公式与S△ADE=3，S△BDE=2，可得AD：BD=3：2，然后由平行线分线段成比例定理，求得BC的长．
此题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
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