试题

（2013·闸北区二模）已知：如图，△ABC中，点D、E、F分别在边BC、CA、AB上，

AF

FB

=

BD

DC

=

AE

EC

：
（1）若BE平分∠ABC，试说明四边形DBFE的形状，并加以证明；
（2）若点G为△ABC的重心，且△BCG与△EFG的面积之和为20，求△BCG的面积．

解：（1）四边形DBFE是菱形．…（1分）
证明：∵△ABC中，

AF

FB

=

BD

DC

=

AE

EC

，
∴FE∥BC，DE∥AB，…（2分）
∴四边形DBFE是平行四边形，…（1分）
又∵BE平分∠ABC，
∴∠FBE=∠DBE，
∵FE∥BC，
∴∠FEB=∠DBE，…（1分）
∴∠FBE=∠FEB，…（1分）
∴BF=EF，…（1分）
∴四边形DBFE是菱形；

（2）∵FE∥BC，
∴△EFG∽△BCG，…（1分）
∴

S△EFG

S△BCG

=（

FG

GC

）²，…（1分）
∵点G为△ABC的重心，
∴

FG

GC

=

1

2

，…（1分）
∴

S△EFG

S△BCG

=（

1

2

）²=

1

4

，
∴S_△BCG=4S_△EFG．…（1分）
∵S_△EFG+S_△BCG=20，
∴S_△BCG=16．…（1分）
解：（1）四边形DBFE是菱形．…（1分）
证明：∵△ABC中，

AF

FB

=

BD

DC

=

AE

EC

，
∴FE∥BC，DE∥AB，…（2分）
∴四边形DBFE是平行四边形，…（1分）
又∵BE平分∠ABC，
∴∠FBE=∠DBE，
∵FE∥BC，
∴∠FEB=∠DBE，…（1分）
∴∠FBE=∠FEB，…（1分）
∴BF=EF，…（1分）
∴四边形DBFE是菱形；

（2）∵FE∥BC，
∴△EFG∽△BCG，…（1分）
∴

S△EFG

S△BCG

=（

FG

GC

）²，…（1分）
∵点G为△ABC的重心，
∴

FG

GC

=

1

2

，…（1分）
∴

S△EFG

S△BCG

=（

1

2

）²=

1

4

，
∴S_△BCG=4S_△EFG．…（1分）
∵S_△EFG+S_△BCG=20，
∴S_△BCG=16．…（1分）