试题

题目：
青果学院（2013·闸北区一模）已知：如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，EC和BD相交于点O，联接DE．
（1）求证：△EOD∽△BOC；
（2）若S△EOD=16，S△BOC=36，求
AE
AC
的值．
答案
（1）证明：在△BOE与△DOC中，
∵∠BEO=∠CDO，∠BOE=∠COD，
∴△BOE∽△COD，
∴
OE
OD
=
OB
OC
，
即
OE
OB
=
OD
OC
，
又∵∠EOD=∠BOC，
∴△EOD∽△BOC；

（2）解：∵△EOD∽△BOC
∴
S△EOD
S△BOC
=(
OD
OC
)2，
∵S△EOD=16，S△BOC=36，
∴
OD
OC
=
2
3
，
在△ODC与△EAC中，
∵∠AEC=∠ODC，∠OCD=∠ACE，
∴△ODC∽△AEC，
∴
OD
AE
=
OC
AC
，
即
OD
OC
=
AE
AC
，
∴
AE
AC
=
2
3
．
（1）证明：在△BOE与△DOC中，
∵∠BEO=∠CDO，∠BOE=∠COD，
∴△BOE∽△COD，
∴
OE
OD
=
OB
OC
，
即
OE
OB
=
OD
OC
，
又∵∠EOD=∠BOC，
∴△EOD∽△BOC；

（2）解：∵△EOD∽△BOC
∴
S△EOD
S△BOC
=(
OD
OC
)2，
∵S△EOD=16，S△BOC=36，
∴
OD
OC
=
2
3
，
在△ODC与△EAC中，
∵∠AEC=∠ODC，∠OCD=∠ACE，
∴△ODC∽△AEC，
∴
OD
AE
=
OC
AC
，
即
OD
OC
=
AE
AC
，
∴
AE
AC
=
2
3
．
考点梳理
相似三角形的判定与性质．
（1）首先证明△BOE∽△COD，由相似三角形的性质可得
OE
OB
=
OD
OC
，又因为∠EOD=∠BOC，所以：△EOD∽△BOC；
（2）由面积之比可得到对应边之比即
OD
OC
=
2
3
，在△ODC与△EAC中，因为∠AEC=∠ODC，∠OCD=∠ACE，所以△ODC∽△AEC，利用相似的性质即可求出
AE
AC
的值．
本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．
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