试题

（2013·浙江一模）如图，在△ABC中，AB=AC，E是BC中点，点O在AB上，以OB为半径的⊙O经过点AE上的一点M，分别交AB，BC于点F，G，连BM，此时∠FBM=∠CBM．
（1）求证：AM是⊙O的切线；
（2）当BC=6，OB：OA=1：2 时，求

FM

，AM，AF围成的阴影部分面积．

解：（1）连结OM，
∵AB=AC，E是BC中点，
∴BC⊥AE，
∵OB=OM，
∴∠OMB=∠MBC，
∵∠FBM=∠CBM，
∴∠OMB=∠CBM，
∴OM∥BC，
∴OM⊥AE，
∴AM是⊙O的切线；

（2）∵E是BC中点，
∴BE=

1

2

BC=3，
∵OB：OA=1：2，OB=OM，
∴OM：OA=1：2，
∵OM⊥AE，
∴∠MAB=30°，∠MOA=60°，OA：BA=1：3，
∵OM∥BC，
∴△AOM∽△ABE，
∴

OM

BE

=

OA

AB

=

1

3

，
∴OM=2，
∴AM=

OA2-OM2

=2

3

，
∴S_阴影=

1

2

×2

3

×2-

60π×22

360

=2

3

-

2

3

π．
解：（1）连结OM，
∵AB=AC，E是BC中点，
∴BC⊥AE，
∵OB=OM，
∴∠OMB=∠MBC，
∵∠FBM=∠CBM，
∴∠OMB=∠CBM，
∴OM∥BC，
∴OM⊥AE，
∴AM是⊙O的切线；

（2）∵E是BC中点，
∴BE=

1

2

BC=3，
∵OB：OA=1：2，OB=OM，
∴OM：OA=1：2，
∵OM⊥AE，
∴∠MAB=30°，∠MOA=60°，OA：BA=1：3，
∵OM∥BC，
∴△AOM∽△ABE，
∴

OM

BE

=

OA

AB

=

1

3

，
∴OM=2，
∴AM=

OA2-OM2

=2

3

，
∴S_阴影=

1

2

×2

3

×2-

60π×22

360

=2

3

-

2

3

π．