试题

题目：
青果学院（1997·内江）如图，已知AB、CD是⊙O的两条平行弦，过A点的⊙O的切线AE和DC的延长线交于E点，P为弧
CD
上一点，弦AP、BP与CD分别交于点M、N．
求证：CM：EM=NM：DM．
答案
证明：∵AE是⊙O的切线，
∴∠EAP=∠ABP．
∵AB∥CD，
∴∠ABP=∠ENP，∠AME=∠NMP．
∴△AEM∽△PNM．
∴AM·PM=MN·EN．
∵AM·PM=CM·DM，
∴MN·EM=CM·DM．
即CM：EM=NM：DM．
证明：∵AE是⊙O的切线，
∴∠EAP=∠ABP．
∵AB∥CD，
∴∠ABP=∠ENP，∠AME=∠NMP．
∴△AEM∽△PNM．
∴AM·PM=MN·EN．
∵AM·PM=CM·DM，
∴MN·EM=CM·DM．
即CM：EM=NM：DM．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；平行线的性质；相交弦定理；弦切角定理．
由弦切角定理可知∠EAP=∠ABP，由AB∥CD，得∠ABP=∠ENP，因为∠AME=∠NMP，故△AEM∽△PNM，依据相交弦定理解答．
此题考查的是相交弦定理，平行线的性质，相似三角形的性质及判定定理，弦切角定理的综合运用能力．
证明题；压轴题．
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