试题

（2013·洛阳二模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在射线DE上，并且EF=AC．
（1）求证：AF=CE；
（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论；
（3）四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？

解：（1）∵∠ACB=90°，FD⊥BC，
∴∠ACB=∠FDB=90°，
∴DF∥AC，
又∵EF=AC，
∴四边形EFAC是平行四边形，
∴AF=CE；

（2）当∠B=30° 时四边形EFAC是菱形，
∵点E在BC的垂直平分线上，
∴DB=DC=

1

2

BC，BE=EC，
∴∠B=∠ECD=30°，
∵DF∥AC，
∴△BDE∽△BCA，
∴

BE

BA

=

BD

BC

=

1

2

，即BE=

1

2

AB，
∴AE=CE
又∵∠ECA=90°-30°=60°，
∴△AEC是等边三角形
∴CE=AC，
∴四边形EFAC是菱形；

（3）不可能．
若四边形EFAC是正方形，则E与D重合，A与C重合，不可能有∠B=30°．
解：（1）∵∠ACB=90°，FD⊥BC，
∴∠ACB=∠FDB=90°，
∴DF∥AC，
又∵EF=AC，
∴四边形EFAC是平行四边形，
∴AF=CE；

（2）当∠B=30° 时四边形EFAC是菱形，
∵点E在BC的垂直平分线上，
∴DB=DC=

1

2

BC，BE=EC，
∴∠B=∠ECD=30°，
∵DF∥AC，
∴△BDE∽△BCA，
∴

BE

BA

=

BD

BC

=

1

2

，即BE=

1

2

AB，
∴AE=CE
又∵∠ECA=90°-30°=60°，
∴△AEC是等边三角形
∴CE=AC，
∴四边形EFAC是菱形；

（3）不可能．
若四边形EFAC是正方形，则E与D重合，A与C重合，不可能有∠B=30°．