试题

（2013·南漳县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥BD交AB于点E，设⊙O是△BDE的外接圆．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）探究线段BC，BD，BO之间的数量关系，并证明；
（3）若DC=2，BC=4，求AD的长．

（1）证明：连接OD，
∵DE⊥BD，∴∠ODE+∠ODB=90°，
∵OE=OD，
∴∠OED=∠ODE，
∴∠OED+∠ODB=90°，
∵BD为角平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
∵∠EDB=∠DCB=90°，
∴△EBD∽△DBC，
∴∠OED=∠BDC，
∴∠BDC+∠ODB=90°，即∠ODC=90°，
则AC为圆O的切线；

（2）BD²=2BO·BC，理由为：
∵∠C=∠BED，∠ABD=∠DBC
∴△EBD∽△DBC，
∴

EB

DB

=

DB

BC

，即DB²=EB·BC，
∵EB=2BO，
∴BD²=2BO·BC；

（3）在Rt△BDC中，BC=4，DC=2，
根据勾股定理得：BD=

42+22

=2

5

，
∴由BD²=2BO·BC，得BO=OD=

BD2

2BC

=

5

2

，
∵∠ADO=∠ACB=90°，
∴OD∥BC，
∴

OD

BC

=

AD

AD+DC

，即

5 2

4

=

AD

AD+2

，
解得：AD=

10

3

．
（1）证明：连接OD，
∵DE⊥BD，∴∠ODE+∠ODB=90°，
∵OE=OD，
∴∠OED=∠ODE，
∴∠OED+∠ODB=90°，
∵BD为角平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
∵∠EDB=∠DCB=90°，
∴△EBD∽△DBC，
∴∠OED=∠BDC，
∴∠BDC+∠ODB=90°，即∠ODC=90°，
则AC为圆O的切线；

（2）BD²=2BO·BC，理由为：
∵∠C=∠BED，∠ABD=∠DBC
∴△EBD∽△DBC，
∴

EB

DB

=

DB

BC

，即DB²=EB·BC，
∵EB=2BO，
∴BD²=2BO·BC；

（3）在Rt△BDC中，BC=4，DC=2，
根据勾股定理得：BD=

42+22

=2

5

，
∴由BD²=2BO·BC，得BO=OD=

BD2

2BC

=

5

2

，
∵∠ADO=∠ACB=90°，
∴OD∥BC，
∴

OD

BC

=

AD

AD+DC

，即

5 2

4

=

AD

AD+2

，
解得：AD=

10

3

．