试题

题目：
青果学院（2007·兰州）如图，已知AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H．
（1）求证：AH·AB=AC2；
（2）若过A的直线与弦CD（不含端点）相交于点E，与⊙O相交于点F，求证：AE·AF=AC2；
（3）若过A的直线与直线CD相交于点P，与⊙O相交于点Q，判断AP·AQ=AC2是否成立．（不必证明）
答案
青果学院证明：（1）连接CB，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
而∠CAH=∠BAC，∴△CAH∽△BAC，
∴
AC
AB
=
AH
AC
，
即AH·AB=AC2；

（2）连接FB，易证△AHE∽△AFB，
∴AE·AF=AH·AB，
∴AE·AF=AC2；
（也可连接CF，证△AEC∽△ACF）

（3）结论AP·AQ=AC2成立（同理）．
青果学院证明：（1）连接CB，
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
而∠CAH=∠BAC，∴△CAH∽△BAC，
∴
AC
AB
=
AH
AC
，
即AH·AB=AC2；

（2）连接FB，易证△AHE∽△AFB，
∴AE·AF=AH·AB，
∴AE·AF=AC2；
（也可连接CF，证△AEC∽△ACF）

（3）结论AP·AQ=AC2成立（同理）．
考点梳理
圆周角定理；相似三角形的判定与性质．
（1）连接CB，证明△CAH∽△BAC即可；
（2）连接CF，证△AEC∽△ACF，根据射影定理即可证得；
（3）由（1）（2）的结论可知，AP·AQ=AC2成立．
本题考查了相似三角形的性质，其中由相似三角形的性质得出比例式是解题关键．
综合题．
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