试题

（2007·连云港）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C在坐标轴上，OA=60cm，OC=80cm．动点P从点O出发，以5cm/s的速度沿x轴匀速向点C运动，到达点C即停止．设点P运动的时间为ts．
（1）过点P作对角线OB的垂线，垂足为点T．求PT的长y与时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（2）在点P运动过程中，当点O关于直线AP的对称点O'恰好落在对角线OB上时，求此时直线AP的函数解析式；
（3）探索：以A，P，T三点为顶点的△APT的面积能否达到矩形OABC面积的

1

4

？请说明理由．

解：（1）在矩形OABC中，
因为OA=60，OC=80，
所以OB=AC=

602+802

=100．
因为PT⊥OB，
所以Rt△OPT∽Rt△OBC．
因为

PT

BC

=

OP

OB

，即

PT

60

=

5t

100

，
所以y=PT=

3

5

t．
当点P运动到C点时即停止运动，此时t的最大值为

80

5

=16．

（2）（如图2）当O点关于直线AP的对称点O'恰好在对角线OB上时，A，T，P三点在
一条直线上．
所以AP⊥OB，∠1=∠2．
所以Rt△AOP∽Rt△OCB，
所以

OP

CB

=

AO

OC

．
所以OP=45．
所以点P的坐标为（45，0）．
设直线AP的函数解析式为y=kx+b．
将点A（0，60）和点P（45，0）代入解析式，
得

60=0+b 0=45k+b

，
解这个方程组得

k=- 4 3 b=60

．
所以此时直线AP的函数解析式是y=-

4

3

x+60．

（3）由（2）知，当t=

45

5

=9时，A，T，P三点在一条直线上，此时点A，T，P不构
成三角形．
所以分两种情况：
1、当0＜t＜9时，点T位于△AOP的内部（如图1），过A点作AE⊥OB，垂足为点E，
由AO·AB=OB·AE可得AE=48．
所以S_△APT=S_△AOP-S_△ATO-S_△OTP=

1

2

×60×5t-

1

2

×4t×48-

1

2

×4t×3t=-6t²+54t．
若S_△APT=

1

4

S_矩形OABC，
则-6t²+54t=1200，即t²-9t+200=0．
此时，△=（-9）²-4×1×200＜0，
所以该方程无实数根．
所以当0＜t＜9时，以A，P，T为顶点的△APT的面积不能达到矩形OABC面积的

1

4

．
2、当9＜t≤16时，点T位于△AOP的外部．
此时S_△APT=S_△ATO+S_△OTP-S_△AOP=6t²-54t．
若S_△APT=

1

4

S_矩OABC，
则6t²-54t=1200，即t²-9t-200=0．
解得t1=

9+ 881

2

，t2=

9- 881

2

＜0（舍去）．
由于881＞625=25²，
所以t=

9+ 881

2

＞

9+ 625

2

=17．
而此时9＜t≤16，
所以t=

9+ 881

2

也不符合题意，应舍去．
所以当9＜t≤16时，以A，P，T为顶点的△APT的面积也不能达到矩形OABC面积的

1

4

．
综上所述，以A，P，T为顶点的△APT的面积不能达到矩形OABC面积的

1

4

．

解：（1）在矩形OABC中，
因为OA=60，OC=80，
所以OB=AC=

602+802

=100．
因为PT⊥OB，
所以Rt△OPT∽Rt△OBC．
因为

PT

BC

=

OP

OB

，即

PT

60

=

5t

100

，
所以y=PT=

3

5

t．
当点P运动到C点时即停止运动，此时t的最大值为

80

5

=16．

（2）（如图2）当O点关于直线AP的对称点O'恰好在对角线OB上时，A，T，P三点在
一条直线上．
所以AP⊥OB，∠1=∠2．
所以Rt△AOP∽Rt△OCB，
所以

OP

CB

=

AO

OC

．
所以OP=45．
所以点P的坐标为（45，0）．
设直线AP的函数解析式为y=kx+b．
将点A（0，60）和点P（45，0）代入解析式，
得

60=0+b 0=45k+b

，
解这个方程组得

k=- 4 3 b=60

．
所以此时直线AP的函数解析式是y=-

4

3

x+60．

（3）由（2）知，当t=

45

5

=9时，A，T，P三点在一条直线上，此时点A，T，P不构
成三角形．
所以分两种情况：
1、当0＜t＜9时，点T位于△AOP的内部（如图1），过A点作AE⊥OB，垂足为点E，
由AO·AB=OB·AE可得AE=48．
所以S_△APT=S_△AOP-S_△ATO-S_△OTP=

1

2

×60×5t-

1

2

×4t×48-

1

2

×4t×3t=-6t²+54t．
若S_△APT=

1

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S_矩形OABC，
则-6t²+54t=1200，即t²-9t+200=0．
此时，△=（-9）²-4×1×200＜0，
所以该方程无实数根．
所以当0＜t＜9时，以A，P，T为顶点的△APT的面积不能达到矩形OABC面积的

1

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．
2、当9＜t≤16时，点T位于△AOP的外部．
此时S_△APT=S_△ATO+S_△OTP-S_△AOP=6t²-54t．
若S_△APT=

1

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S_矩OABC，
则6t²-54t=1200，即t²-9t-200=0．
解得t1=

9+ 881

2

，t2=

9- 881

2

＜0（舍去）．
由于881＞625=25²，
所以t=

9+ 881

2

＞

9+ 625

2

=17．
而此时9＜t≤16，
所以t=

9+ 881

2

也不符合题意，应舍去．
所以当9＜t≤16时，以A，P，T为顶点的△APT的面积也不能达到矩形OABC面积的

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综上所述，以A，P，T为顶点的△APT的面积不能达到矩形OABC面积的

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