试题

（2007·攀枝花）如图，△ABC中，以BC上一点O为圆心，以OB为半径的圆交AB于点M，交BC于点N，且BA·BM=BC·BN．
（1）求证：AC⊥BC；
（2）如果CM是⊙O的切线，N为OC的中点，当AC=4时，求AB的值．

（1）证明：连接MN，
∵BN是圆的直径，
∴∠BMN=90°，
∵BA·BM=BC·BN，
∴BA：BN=BC：BM，
∴△ACB∽△NMB，
∴∠ACB=∠BMN=90°，
∴AC⊥BC；

（2）解：连接OM，则∠OMC=90°，
∵N为OC中点，
∴MN=ON=OM，
∴∠MON=60°，
∵OM=OB，
∴∠B=

1

2

∠MON=30°，
∵∠ACB=90°，
∴AB=2AC=2×4=8．
（1）证明：连接MN，
∵BN是圆的直径，
∴∠BMN=90°，
∵BA·BM=BC·BN，
∴BA：BN=BC：BM，
∴△ACB∽△NMB，
∴∠ACB=∠BMN=90°，
∴AC⊥BC；

（2）解：连接OM，则∠OMC=90°，
∵N为OC中点，
∴MN=ON=OM，
∴∠MON=60°，
∵OM=OB，
∴∠B=

1

2

∠MON=30°，
∵∠ACB=90°，
∴AB=2AC=2×4=8．