试题

题目：
青果学院（2007·威海）如图，四边形ABCD为一梯形纸片，AB∥CD，AD=BC．翻折纸片ABCD，使点A与点C重合，折痕为EF．已知CE⊥AB．
（1）求证：EF∥BD；
（2）若AB=7，CD=3，求线段EF的长．
答案
青果学院（1）证明：过C点作CH∥BD，交AB的延长线于点H；
连接AC，交EF于点K，则AK=CK．
∵AB∥CD，∴BH=CD，BD=CH．
∵AD=BC，∴AC=BD=CH．
∵CE⊥AB，
∴AE=EH．
∴EK是△AHC的中位线．
∴EK∥CH．
∴EF∥BD．

（2）解：由（1）得BH=CD，EF∥BD．
∴∠AEF=∠ABD．
∵AB=7，CD=3，
∴AH=10．
∵AE=CE，AE=EH，
∴AE=CE=EH=5．
∵CE⊥AB，∴CH=5
2
=BD．
∵∠EAF=∠BAD，∠AEF=∠ABD，
∴△AFE∽△ADB．
∴
AE
AB
=
EF
BD
．
∴EF=
AE·BD
AB
=
25
2
7
．
青果学院（1）证明：过C点作CH∥BD，交AB的延长线于点H；
连接AC，交EF于点K，则AK=CK．
∵AB∥CD，∴BH=CD，BD=CH．
∵AD=BC，∴AC=BD=CH．
∵CE⊥AB，
∴AE=EH．
∴EK是△AHC的中位线．
∴EK∥CH．
∴EF∥BD．

（2）解：由（1）得BH=CD，EF∥BD．
∴∠AEF=∠ABD．
∵AB=7，CD=3，
∴AH=10．
∵AE=CE，AE=EH，
∴AE=CE=EH=5．
∵CE⊥AB，∴CH=5
2
=BD．
∵∠EAF=∠BAD，∠AEF=∠ABD，
∴△AFE∽△ADB．
∴
AE
AB
=
EF
BD
．
∴EF=
AE·BD
AB
=
25
2
7
．
考点梳理
翻折变换（折叠问题）；平行线的性质；三角形中位线定理；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．
（1）过C点作CH∥BD，交AB的延长线于点H；连接AC，交EF于点K，则AK=CK．
通过证明四边形CDBH是平行四边形，△ACH是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，底边上的高是底边上的中线得到EK是△AHC的中位线．EK∥CH．可得EF∥BD．
（2）由AB=7，CD=3，得AH=10．由折叠的性质知AE=CE，∴AE=CE=EH=5．在等腰直角三角形CHE中，由勾股定理得，CH=5
2
=BD．由于△AFE∽△ADB．即
AE
AB
=
EF
BD
．从而求得EF的值．
本题利用了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、平行线的性质，三角形中位线的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质求解．
综合题；压轴题．
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