试题

（2007·乌兰察布）如图所示，菱形ABCD的边长为6cm，∠DAB=60°，点M是边AD上一点，DM=2cm，点E、F分别从A、C同时出发，以1cm/s的速度分别沿边AB、CB向点B运动，EM、CD的延长线相交于G，GF交AD于O．设运动时间为x（s），△CGF的面积为y（cm²）．
（1）当x为何值时，GD的长度是2cm？
（2）求y与x之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻，使得线段GF把菱形ABCD分成的上、下两部分的面积之比为1：5？若存在，求出此时x的值；若不存在，说明理由．

解：（1）∵DC∥AB，
∴△DMG∽△AME，
∴

DG

AE

=

DM

AM

，
∴AE=

AM·DG

DM

=4，
即当x=4s时，GD的长度是2cm．

（2）∵△DMG∽△AME，
∴

DG

AE

=

DM

AM

，
∴DG=

DM·AE

AM

=

2x

4

=

x

2

，
∴GC=6+

x

2

，
过F作FH⊥DC于H点，
∴FH=CF·sin60°=

3

2

x，
∴y=

1

2

GC·FH，
=

1

2

(6+

x

2

)·

3

2

x=

3

8

x2+

3 3

2

x．

（3）设运动x（s）时，GF分菱形上、下两部分的面积比为1：5，
此时△OGD∽△FGC，
∴

GD

GC

=

OD

FC

，
∴OD=

GD·FC

GC

=

x 2 ·x

6+ x 2

=

x2

x+12

，
过D作DP⊥BC于P，则PD=6×sin60°=3

3

，
由题意知，

1

2

(

x2

x+12

+x)·3

3

=

1

6

×6×3

3

，
即

x2

x+12

+x=2，
解得：x1=

73 -5

2

x2=

- 73 -5

2

（舍去），
经检验：x=

73 -5

2

是原方程的解．
∴当x=

73 -5

2

时，GF分菱形上、下两部分的面积比为1：5．
解：（1）∵DC∥AB，
∴△DMG∽△AME，
∴

DG

AE

=

DM

AM

，
∴AE=

AM·DG

DM

=4，
即当x=4s时，GD的长度是2cm．

（2）∵△DMG∽△AME，
∴

DG

AE

=

DM

AM

，
∴DG=

DM·AE

AM

=

2x

4

=

x

2

，
∴GC=6+

x

2

，
过F作FH⊥DC于H点，
∴FH=CF·sin60°=

3

2

x，
∴y=

1

2

GC·FH，
=

1

2

(6+

x

2

)·

3

2

x=

3

8

x2+

3 3

2

x．

（3）设运动x（s）时，GF分菱形上、下两部分的面积比为1：5，
此时△OGD∽△FGC，
∴

GD

GC

=

OD

FC

，
∴OD=

GD·FC

GC

=

x 2 ·x

6+ x 2

=

x2

x+12

，
过D作DP⊥BC于P，则PD=6×sin60°=3

3

，
由题意知，

1

2

(

x2

x+12

+x)·3

3

=

1

6

×6×3

3

，
即

x2

x+12

+x=2，
解得：x1=

73 -5

2

x2=

- 73 -5

2

（舍去），
经检验：x=

73 -5

2

是原方程的解．
∴当x=

73 -5

2

时，GF分菱形上、下两部分的面积比为1：5．