试题

（2007·襄阳）如图①，△ABC内接于⊙O，点P是△ABC的内切圆的圆心，AP交边BC于点D，交⊙O于点E，经过点E作⊙O的切线分别交AB、AC延长线于点F、G．
（1）求证：BC∥FG；
（2）探究：PE与DE和AE之间的关系；
（3）当图①中的FE=AB时，如图②，若FB=3，CG=2，求AG的长．

（1）证明：连接BE，
∵点P是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD．
又∵FG切⊙O于E，
∴∠BEF=∠BAD．
又∵∠DBE=∠CAD，
∴∠BEF=∠DBE．
∴BC∥FG．

（2）解：连接BP，
则∠ABP=∠CBP．
∵∠BPE=∠BAP+∠ABP=∠PBC+∠EBD，
∴∠BPE=∠PBE．
∴BE=PE．
在△ABE和△BDE中，
∠BAE=∠EBD，∠BED=∠AEB，
∴△ABE∽△BDE．
∴

BE

AE

=

DE

BE

．
∴BE²=AE·DE．
∴PE²=AE·DE．

（3）解：∵FE²=FB·FA=FB（FB+AB），
而FE=AB，
∴AB²=3（3+AB）．
设AB=x，则x²-3x-9=0，
解之得x=

3+3 5

2

．
∴AB=

3+3 5

2

（取正值）．
由（1）在△AFG中，BC∥FG，
∴

AB

BF

=

AC

CG

．
∴AC=

AB·CG

BF

=

3+3 5

2

×

2

3

=1+

5

．
∴AG=AC+CG=3+

5

．
（1）证明：连接BE，
∵点P是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD．
又∵FG切⊙O于E，
∴∠BEF=∠BAD．
又∵∠DBE=∠CAD，
∴∠BEF=∠DBE．
∴BC∥FG．

（2）解：连接BP，
则∠ABP=∠CBP．
∵∠BPE=∠BAP+∠ABP=∠PBC+∠EBD，
∴∠BPE=∠PBE．
∴BE=PE．
在△ABE和△BDE中，
∠BAE=∠EBD，∠BED=∠AEB，
∴△ABE∽△BDE．
∴

BE

AE

=

DE

BE

．
∴BE²=AE·DE．
∴PE²=AE·DE．

（3）解：∵FE²=FB·FA=FB（FB+AB），
而FE=AB，
∴AB²=3（3+AB）．
设AB=x，则x²-3x-9=0，
解之得x=

3+3 5

2

．
∴AB=

3+3 5

2

（取正值）．
由（1）在△AFG中，BC∥FG，
∴

AB

BF

=

AC

CG

．
∴AC=

AB·CG

BF

=

3+3 5

2

×

2

3

=1+

5

．
∴AG=AC+CG=3+

5

．