试题

（2012·中山一模）如图，矩形ABCD，M为CD中点，点E在线段MC上运动，GH垂直平分AE，垂足为O，分别交于AD、BC于点G、H，AB=3，BC=4．
（1）求AE：GH；
（2）设CE=x，四边形AHEG的面积为y，求y关于x的函数关系式；当y取最大值时，判断四边形AHEG的形状，并说明理由．

解：（1）如图，过H作HF⊥AD，
则∠HFG=90°，
∵GH垂直平分AE，垂足为O，
∴∠AOG=90°，
∴∠EAD+∠AGO=90°，∠GHF+∠AGO=90°，
∴∠EAD=∠GHF，
又∵∠HFG=∠D=90°，
∴△AED∽△HGF，
∴

AE

GH

=

AD

HF

，
∵四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=4，
∴AD=BC=4，HF=AB=3，
∴AE：HG=4：3；

（2）∵CE=x，
∴DE=3-x，
在Rt△ADE中，AE=

AD2+DE2

=

42+(3-x)2

=

(3-x)2+16

，
∴GH=

3

4

(3-x)2+16

，
∵GH垂直平分AE，
∴y=S_△AGE+S_△AHE=

1

2

×AE×OG+

1

2

×AE×OH
=

1

2

×AE×（OG+OH）
=

1

2

×AE×GH
=

1

2

×

(3-x)2+16

×

3

4

(3-x)2+16

=

3

8

（3-x）²+6，
即y=

3

8

（3-x）²+6，
∵M为CD中点，
∴0≤x≤1.5，
∴当x=0时，y取最大值，最大值为9.375，
此时点E与点C重合，四边形AHEG是菱形，
理由如下：
∵AD∥BC，
∴∠OAG=∠OEH，
∵GH垂直平分AE，垂足为O，
∴OA=OE，∠AOG=∠EOH，
在△AOG与△EOH中，

∠OAG=∠OEH OA=OE ∠AOG=∠EOH

，
∴△AOG≌△EOH（ASA），
∴OG=OH，
∴AE与GH互相垂直平分，
∴四边形AHEG是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）．
解：（1）如图，过H作HF⊥AD，
则∠HFG=90°，
∵GH垂直平分AE，垂足为O，
∴∠AOG=90°，
∴∠EAD+∠AGO=90°，∠GHF+∠AGO=90°，
∴∠EAD=∠GHF，
又∵∠HFG=∠D=90°，
∴△AED∽△HGF，
∴

AE

GH

=

AD

HF

，
∵四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=4，
∴AD=BC=4，HF=AB=3，
∴AE：HG=4：3；

（2）∵CE=x，
∴DE=3-x，
在Rt△ADE中，AE=

AD2+DE2

=

42+(3-x)2

=

(3-x)2+16

，
∴GH=

3

4

(3-x)2+16

，
∵GH垂直平分AE，
∴y=S_△AGE+S_△AHE=

1

2

×AE×OG+

1

2

×AE×OH
=

1

2

×AE×（OG+OH）
=

1

2

×AE×GH
=

1

2

×

(3-x)2+16

×

3

4

(3-x)2+16

=

3

8

（3-x）²+6，
即y=

3

8

（3-x）²+6，
∵M为CD中点，
∴0≤x≤1.5，
∴当x=0时，y取最大值，最大值为9.375，
此时点E与点C重合，四边形AHEG是菱形，
理由如下：
∵AD∥BC，
∴∠OAG=∠OEH，
∵GH垂直平分AE，垂足为O，
∴OA=OE，∠AOG=∠EOH，
在△AOG与△EOH中，

∠OAG=∠OEH OA=OE ∠AOG=∠EOH

，
∴△AOG≌△EOH（ASA），
∴OG=OH，
∴AE与GH互相垂直平分，
∴四边形AHEG是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）．