试题

（2013·宝应县二模）在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，O为AB上一点，OA=

15

4

，以O为圆心，OA为半径作圆．
（1）试判断⊙O与BC的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O与AC交于点另一点D，求CD的长．

解：（1）⊙O与BC相切．理由如下：
过点O作OE⊥BC，如图，
∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=

AC2+BC2

=10，
∴OB=AB-OA=10-

15

4

=

25

4

，
∵∠ACB=90°，
∴OE∥AC，
∴△BOE∽△BAC，
∴OE：AC=OB：AB，即OE：6=

25

4

：10，
∴OE=

15

4

，
∴OE=OA，
而OE⊥BC
∴⊙O与BC相切；

（2）作OF⊥AC于F点，则AF=DF，如图，
∵∠C=90°，
∴OF∥BC，
∴△AOF∽△ABC，
∴AF：AC=AO：AB，即AF：6=

15

4

：10，
∴AF=

9

4

，
∴AD=2AF=

9

2

，
∴CD=AC-AD=6-

9

2

=

3

2

．
解：（1）⊙O与BC相切．理由如下：
过点O作OE⊥BC，如图，
∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=

AC2+BC2

=10，
∴OB=AB-OA=10-

15

4

=

25

4

，
∵∠ACB=90°，
∴OE∥AC，
∴△BOE∽△BAC，
∴OE：AC=OB：AB，即OE：6=

25

4

：10，
∴OE=

15

4

，
∴OE=OA，
而OE⊥BC
∴⊙O与BC相切；

（2）作OF⊥AC于F点，则AF=DF，如图，
∵∠C=90°，
∴OF∥BC，
∴△AOF∽△ABC，
∴AF：AC=AO：AB，即AF：6=

15

4

：10，
∴AF=

9

4

，
∴AD=2AF=

9

2

，
∴CD=AC-AD=6-

9

2

=

3

2

．