试题

题目：
青果学院（2013·保康县二模）如图，在⊙O中，AB为直径，弦CD⊥直径AB于点M．
（1）若CE为∠ACB的平分线，交⊙O于点E，求∠ABE的度数．
（2）若AM=18，BM=8．求弦CD的长．
答案
解：（1）∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CE为∠ACB的平分线，
∴∠ACE=
1
2
∠ACB=45°，
∴∠ABE=∠ACE=45°；

（2）∵CD⊥AB，
∴CM=DM，∠AMC=∠BMC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠ACM=∠ACM+∠BCM=90°，
∴∠A=∠BCM，
∴Rt△ACM∽Rt△CBM，
∴
AM
CM
=
CM
BM
，即CM2=AB·BM，
∵AM=18，BM=8，
∴CM2=18×8，
∴CM=12，
∴CD=2CM=24．
解：（1）∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CE为∠ACB的平分线，
∴∠ACE=
1
2
∠ACB=45°，
∴∠ABE=∠ACE=45°；

（2）∵CD⊥AB，
∴CM=DM，∠AMC=∠BMC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠ACM=∠ACM+∠BCM=90°，
∴∠A=∠BCM，
∴Rt△ACM∽Rt△CBM，
∴
AM
CM
=
CM
BM
，即CM2=AB·BM，
∵AM=18，BM=8，
∴CM2=18×8，
∴CM=12，
∴CD=2CM=24．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理．
（1）根据圆周角定理讨论得到∠ACB=90°，由CE为∠ACB的平分线，则∠ACE=
1
2
∠ACB=45°，然后根据圆周角定理得到∠ABE=∠ACE=45°；
（2）由CD⊥AB，根据垂径定理得到CM=DM，∠AMC=∠BMC=90°，根据等角的余角相等得到∠A=∠BCM，根据相似的判定方法得到Rt△ACM∽Rt△CBM，利用相似比得到CM2=AB·BM，可计算出CM=12，所以CD=2CM=24．
本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角分别相等的两个三角形相似；相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．也考查了垂径定理和圆周角定理．
计算题．
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