试题

（2013·北碚区模拟）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，DC=5，AB=4

2

，∠B=45°，动点M从点B出发，沿线段BC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发，沿C→D→A，以同样速度向终点A运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t秒．
（1）求线段BC的长度；
（2）求在运动过程中形成的△MCN的面积S与运动的时间t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；并求出当t为何值时，△MCN的面积S最大，并求出最大面积；
（3）试探索：当M，N在运动过程中，△MCN是否可能为等腰三角形？若可能，则求出相应的t值；若不可能，说明理由．

解：（1）如图1，
分别过A，D作AE⊥BC，DF⊥BC，分别交BC于E，F；
∴EF=AD=3；
∵∠B=45°，AB=4

2

；
∴BE=AE=DF=4．（1分）
在Rt△DFC中，
CF=

DC2-DF2

=

52-42

=3；（2分）
∴BC=BE+EF+CF=4+3+3=10；（3分）

（2）①如图2，
当0≤t≤5时，CN=BM=t，
MC=10-t；
过N作NG⊥于BC于点G；∴△NGC∽△DFC
∴

CN

CD

=

NG

DF

，即

t

5

=

NG

4

；
∴NG=

4t

5

；
∴S=

1

2

MC·NG=

1

2

·(10-t)·

4t

5

=-

2

5

t2+4t；
∵-

2

5

＜0，函数开口向下；
∴当t=-

4

- 4 5

=5时，S_max=10；（5分）
②如图3，
当5≤t≤8时，S=

1

2

MC·DF=

1

2

·(10-t)·4=-2t+20；
∵-2＜0，即S随t的减小而增大；
∴当t=5时，S_max=10；（6分）
综上：S=

- 2 5 t2+4t(0≤t≤5) -2t+20，(5＜t≤8)

，
当t=5时，△MCN的面积S最大，最大值为10；

（3）当0≤t≤5时：CN=BM=t，MC=10-t；
①当MC=NC时，t=10-t，解得：t=5；（7分）
②当NM=NC时，如图4，
过N作NH⊥BC于点H，
则有HC=MH，可得：

3

5

t=

1

2

(10-t)，
解得：t=

50

11

；（8分）
③当MN=MC时，如图4，

过M作MI⊥CD于I，CI=

1

2

t，又cosC=

3

5

，
即：

CI

CM

=

3

5

，可得

1 2 t

10-t

=

3

5

，解得：t=

60

11

＞5（舍去）；（9分）
当5＜t≤8时，如图5，
过C作CJ⊥AD的延长线于点J，过N作NK⊥BC于点K；
则：MC²=（10-t）²=t²-20t+100；MN²=（12-2t）²+4²=4t²-48t+160；NC²=（t-2）²+4²=t²-4t+20；
④当MC=NC时，t²-20t+100=t²-4t+20，解得：t=5（舍去）；（10分）
⑤当MN=MC时，4t²-48t+160=t²-20t+100，
解得：t1=6，t2=

10

3

＜5（舍去）；（11分）
⑥当MN=NC时，t²-4t+20=4t²-48t+160，
解得：t1=10＞8，t2=

14

3

＜5（舍去）．（12分）
综上：当t=5，

50

11

，6时，△MCN为等腰三角形．
解：（1）如图1，
分别过A，D作AE⊥BC，DF⊥BC，分别交BC于E，F；
∴EF=AD=3；
∵∠B=45°，AB=4

2

；
∴BE=AE=DF=4．（1分）
在Rt△DFC中，
CF=

DC2-DF2

=

52-42

=3；（2分）
∴BC=BE+EF+CF=4+3+3=10；（3分）

（2）①如图2，
当0≤t≤5时，CN=BM=t，
MC=10-t；
过N作NG⊥于BC于点G；∴△NGC∽△DFC
∴

CN

CD

=

NG

DF

，即

t

5

=

NG

4

；
∴NG=

4t

5

；
∴S=

1

2

MC·NG=

1

2

·(10-t)·

4t

5

=-

2

5

t2+4t；
∵-

2

5

＜0，函数开口向下；
∴当t=-

4

- 4 5

=5时，S_max=10；（5分）
②如图3，
当5≤t≤8时，S=

1

2

MC·DF=

1

2

·(10-t)·4=-2t+20；
∵-2＜0，即S随t的减小而增大；
∴当t=5时，S_max=10；（6分）
综上：S=

- 2 5 t2+4t(0≤t≤5) -2t+20，(5＜t≤8)

，
当t=5时，△MCN的面积S最大，最大值为10；

（3）当0≤t≤5时：CN=BM=t，MC=10-t；
①当MC=NC时，t=10-t，解得：t=5；（7分）
②当NM=NC时，如图4，
过N作NH⊥BC于点H，
则有HC=MH，可得：

3

5

t=

1

2

(10-t)，
解得：t=

50

11

；（8分）
③当MN=MC时，如图4，

过M作MI⊥CD于I，CI=

1

2

t，又cosC=

3

5

，
即：

CI

CM

=

3

5

，可得

1 2 t

10-t

=

3

5

，解得：t=

60

11

＞5（舍去）；（9分）
当5＜t≤8时，如图5，
过C作CJ⊥AD的延长线于点J，过N作NK⊥BC于点K；
则：MC²=（10-t）²=t²-20t+100；MN²=（12-2t）²+4²=4t²-48t+160；NC²=（t-2）²+4²=t²-4t+20；
④当MC=NC时，t²-20t+100=t²-4t+20，解得：t=5（舍去）；（10分）
⑤当MN=MC时，4t²-48t+160=t²-20t+100，
解得：t1=6，t2=

10

3

＜5（舍去）；（11分）
⑥当MN=NC时，t²-4t+20=4t²-48t+160，
解得：t1=10＞8，t2=

14

3

＜5（舍去）．（12分）
综上：当t=5，

50

11

，6时，△MCN为等腰三角形．