试题

（2013·长海县模拟）如图，已知在矩形ABCD中，AD=8，CD=4，点E从点D出发，沿线段DA以每秒1个单位长的速度向点A方向移动，同时点F从点C出发，沿射线CD方向以每秒2个单位长的速度移动，当B，E，F三点共线时，两点同时停止运动．设点E移动的时间为t（秒）．
（1）求当t为何值时，两点同时停止运动；
（2）设四边形BCFE的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）求当t为何值时，以E，F，C三点为顶点的三角形是等腰三角形；
（4）求当t为何值时，∠BEC=∠BFC．

解：（1）当B，E，F三点共线时，两点同时停止运动，如图所示．（1分）
由题意可知：ED=t，BC=8，FD=4-2t，FC=2t．
∵ED∥BC，
∴△FED∽△FBC．
∴

FD

FC

=

ED

BC

．
∴

2t-4

2t

=

t

8

．
解得t=4．
∴当t=4时，两点同时停止运动；（3分）

（2）∵ED=t，CF=2t，
∴S=S_△BCE+S_△ECF=

1

2

×8×4+

1

2

×2t×t=16+t²．
即S=16+t²．（0≤t＜4）；（6分）

（3）①若EF=EC时，则点F只能在CD的延长线上，
∵EF²=（2t-4）²+t²=5t²-16t+16，
EC²=4²+t²=t²+16，
∴5t²-16t+16=t²+16．
∴t=4或t=0（舍去）；
②若EC=FC时，
∵EC²=4²+t²=t²+16，FC²=4t²，
∴t²+16=4t²
．∴t=

4

3

3

；
③若EF=FC时，
∵EF²=（2t-4）²+t²=5t²-16t+16，FC²=4t²，
∴5t²-16t+16=4t²．
∴t₁=8+4

3

（舍去），t₂=8-4

3

．
∴当t的值为4，

4

3

3

，8-4

3

时，以E，F，C三点为顶点的三角形是等腰三角形；（9分）

（4）在Rt△BCF和Rt△CDE中，
∵∠BCF=∠CDE=90°，

BC

CD

=

CF

ED

=2，
∴Rt△BCF∽Rt△CDE．
∴∠BFC=∠CED．                                     （10分）
∵AD∥BC，
∴∠BCE=∠CED．若∠BEC=∠BFC，则∠BEC=∠BCE．即BE=BC．
∵BE²=t²-16t+80，
∴t²-16t+80=64．
∴t₁=8+4

3

（舍去），t₂=8-4

3

．
∴当t=8-4

3

时，∠BEC=∠BFC．                                       （12分）
解：（1）当B，E，F三点共线时，两点同时停止运动，如图所示．（1分）
由题意可知：ED=t，BC=8，FD=4-2t，FC=2t．
∵ED∥BC，
∴△FED∽△FBC．
∴

FD

FC

=

ED

BC

．
∴

2t-4

2t

=

t

8

．
解得t=4．
∴当t=4时，两点同时停止运动；（3分）

（2）∵ED=t，CF=2t，
∴S=S_△BCE+S_△ECF=

1

2

×8×4+

1

2

×2t×t=16+t²．
即S=16+t²．（0≤t＜4）；（6分）

（3）①若EF=EC时，则点F只能在CD的延长线上，
∵EF²=（2t-4）²+t²=5t²-16t+16，
EC²=4²+t²=t²+16，
∴5t²-16t+16=t²+16．
∴t=4或t=0（舍去）；
②若EC=FC时，
∵EC²=4²+t²=t²+16，FC²=4t²，
∴t²+16=4t²
．∴t=

4

3

3

；
③若EF=FC时，
∵EF²=（2t-4）²+t²=5t²-16t+16，FC²=4t²，
∴5t²-16t+16=4t²．
∴t₁=8+4

3

（舍去），t₂=8-4

3

．
∴当t的值为4，

4

3

3

，8-4

3

时，以E，F，C三点为顶点的三角形是等腰三角形；（9分）

（4）在Rt△BCF和Rt△CDE中，
∵∠BCF=∠CDE=90°，

BC

CD

=

CF

ED

=2，
∴Rt△BCF∽Rt△CDE．
∴∠BFC=∠CED．                                     （10分）
∵AD∥BC，
∴∠BCE=∠CED．若∠BEC=∠BFC，则∠BEC=∠BCE．即BE=BC．
∵BE²=t²-16t+80，
∴t²-16t+80=64．
∴t₁=8+4

3

（舍去），t₂=8-4

3

．
∴当t=8-4

3

时，∠BEC=∠BFC．                                       （12分）