试题

（2013·大兴区一模）已知：如图，AC为⊙O的直径且PA⊥AC，BC是⊙O的一条弦，连结PB、PO，PO∥BC，
（1）求证：直线PB是⊙O的切线；
（2）求tan∠BCA的值．

（1）证明：连接OB，
∵OB=OC，
∴∠C=∠OBC．
∵PO∥BC，
∴∠C=∠AOP，∠BOP=∠OBC，
∴∠AOP=∠BOP
∵OP=OP，
∴△AOP≌△BOP．
∴∠OBP=∠OAP=90°
∴PB是⊙O的切线．
（2）解：延长AC交PB的延长线于点D，
∵PO∥BC，
∴△PDO∽△BDC．

∴

DC

DO

=

BC

PO

=

2

3

．
∴DC=2CO．
设CO=r，则DO=3r，连结BO，
在Rt△BDO中，DB=

9r2-r2

=2

2

r．
又∵△BDO∽△ADP，
∴

BO

PA

=

BD

AD

=

2 2 r

4r

=

2

2

．
∴PA=

2

r．
∴tan∠BCA=tan∠POA=

2

．
（1）证明：连接OB，
∵OB=OC，
∴∠C=∠OBC．
∵PO∥BC，
∴∠C=∠AOP，∠BOP=∠OBC，
∴∠AOP=∠BOP
∵OP=OP，
∴△AOP≌△BOP．
∴∠OBP=∠OAP=90°
∴PB是⊙O的切线．
（2）解：延长AC交PB的延长线于点D，
∵PO∥BC，
∴△PDO∽△BDC．

∴

DC

DO

=

BC

PO

=

2

3

．
∴DC=2CO．
设CO=r，则DO=3r，连结BO，
在Rt△BDO中，DB=

9r2-r2

=2

2

r．
又∵△BDO∽△ADP，
∴

BO

PA

=

BD

AD

=

2 2 r

4r

=

2

2

．
∴PA=

2

r．
∴tan∠BCA=tan∠POA=

2

．