试题
题目:
(2013·福田区一模)如图,E是正方形ABCD的边DC上的一点,过A作AF⊥AE,交CB延长线于点F.AE的延长线交BC的延长线于点G.
(1)求证:AE=AF.
(2)若AF=7,DE=2,求EG的长.
答案
(1)证明:正方形ABCD中,∠BAD=90°,AD=AB,
∵AF⊥AE,
∴∠FAB+∠BAE=90°
∵∠DAE+∠BAE=90°,
∴∠FAB=∠DAE,
∵在△ABF与△ADE中.
∠FAB=∠DAE
AB=AD
∠EBA=∠D
,
∴△ABF≌△ADE(ASA),
∴AE=AF;
(2)解:在Rt△ABF中,
∵∠FBA=90°,AF=7,BF=DE=2
∴AB=
7
2
-
2
2
=3
5
,
∴EC=DC-DE=3
5
-2,
∵∠D=∠ECG=90°,∠DEA=∠CEG,
∴△ADE∽△GCE,
∴
DE
EC
=
AE
EG
,
∴EG=
21
5
2
-7.
(1)证明:正方形ABCD中,∠BAD=90°,AD=AB,
∵AF⊥AE,
∴∠FAB+∠BAE=90°
∵∠DAE+∠BAE=90°,
∴∠FAB=∠DAE,
∵在△ABF与△ADE中.
∠FAB=∠DAE
AB=AD
∠EBA=∠D
,
∴△ABF≌△ADE(ASA),
∴AE=AF;
(2)解:在Rt△ABF中,
∵∠FBA=90°,AF=7,BF=DE=2
∴AB=
7
2
-
2
2
=3
5
,
∴EC=DC-DE=3
5
-2,
∵∠D=∠ECG=90°,∠DEA=∠CEG,
∴△ADE∽△GCE,
∴
DE
EC
=
AE
EG
,
∴EG=
21
5
2
-7.
考点梳理
考点
分析
点评
相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理;正方形的性质.
(1)首先利用余角的性质证明∠FAB=∠DAE,然后利用ASA即可证明△ABF≌△ADE,根据全等三角形的对应边相等即可证得;
(2)在直角△ABF中利用勾股定理求得AB的长,则EC的长度即可求得,易证△ADE∽△GCE,根据相似三角形的对应边的比相等即可求解.
本题考查全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质,勾股定理,正确证明△ABF≌△ADE是关键.
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