试题

（2013·海淀区二模）如图，△ABC中，E是AC上一点，且AE=AB，∠EBC=

1

2

∠BAC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，交EB于点F．
（1）求证：BC与⊙O相切；
（2）若AB=8，sin∠EBC=

1

4

，求AC的长．

（1）证明：连接AF．
∵AB为直径，
∴∠AFB=90°．
∵AE=AB，
∴△ABE为等腰三角形．
∴∠BAF=

1

2

∠BAC．
∵∠EBC=

1

2

∠BAC，
∴∠BAF=∠EBC，
∴∠FAB+∠FBA=∠EBC+∠FBA=90°．
∴∠ABC=90°．
即AB⊥BC，
∴BC与⊙O相切．

（2）解：过E作EG⊥BC于点G，
∵∠BAF=∠EBC，
∴sin∠BAF=sin∠EBC=

1

4

．
在△AFB中，∠AFB=90°，
∵AB=8，
∴BF=AB·sin∠BAF=8×

1

4

=2，
∴BE=2BF=4．
在△EGB中，∠EGB=90°，
∴EG=BE·sin∠EBC=4×

1

4

=1，
∵EG⊥BC，AB⊥BC，
∴EG∥AB，
∴△CEG∽△CAB，
∴

CE

CA

=

EG

AB

．
∴

CE

CE+8

=

1

8

，
∴CE=

8

7

，
∴AC=AE+CE=8+

8

7

=

64

7

．
（1）证明：连接AF．
∵AB为直径，
∴∠AFB=90°．
∵AE=AB，
∴△ABE为等腰三角形．
∴∠BAF=

1

2

∠BAC．
∵∠EBC=

1

2

∠BAC，
∴∠BAF=∠EBC，
∴∠FAB+∠FBA=∠EBC+∠FBA=90°．
∴∠ABC=90°．
即AB⊥BC，
∴BC与⊙O相切．

（2）解：过E作EG⊥BC于点G，
∵∠BAF=∠EBC，
∴sin∠BAF=sin∠EBC=

1

4

．
在△AFB中，∠AFB=90°，
∵AB=8，
∴BF=AB·sin∠BAF=8×

1

4

=2，
∴BE=2BF=4．
在△EGB中，∠EGB=90°，
∴EG=BE·sin∠EBC=4×

1

4

=1，
∵EG⊥BC，AB⊥BC，
∴EG∥AB，
∴△CEG∽△CAB，
∴

CE

CA

=

EG

AB

．
∴

CE

CE+8

=

1

8

，
∴CE=

8

7

，
∴AC=AE+CE=8+

8

7

=

64

7

．