试题

题目：
（2013·怀远县模拟）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标是（0，3），点A的坐标是（8，0），点B的坐标是（4，3），P、Q分别是x、y轴上的两个动点，点P从C出发，在线段CB上以1个单位/秒的速度向点B移动，点Q从A出发，在线段AO上以青果学院2个单位/秒的速度向点O 移动．设点P、Q同时出发，运动的时间为t（秒）
（1）当t为何值时，PQ平分四边形OABC的面积？
（2）当t为何值时，PQ⊥OB？
（3）当t为何值时，PQ∥AB？
（4）当t为何值时，△OPQ是等腰三角形？
答案
解：（1）由题意可知BC∥OA，BC=4，OA=8，OC=3
∴梯形OABC的面积=
1
2
×（4+8）×3=18
当PQ平分四边形OABC的面积时
1
2
×（t+8-2t）×3=9
解得t=2
即当t=2时，PQ平分四边形OABC的面积（3分）

（2）当PQ⊥OB时，作PM⊥OA于点M，易证△PMQ∽△BCO
∴
PM
BC
=
QM
CO
，
∴
3
4
=
8-3t
3

解得：t=
23
12

即：当t=
23
12
时，PQ⊥OB．（6分）

（3）当PQ∥AB时，
BP=AQ
∴4-t=2t
解得t=
4
3

即当t=
4
3
时，PQ∥AB（9分）

（4）当OP=PQ时，作PF⊥OA于F
则OF=QF
4t=8
t=2
OP=OQ时，青果学院
32+t2=（8-2t）2
解得t1=
16+
91
3
（不合题意，舍去）
t2=
16-
91
3

∴t=
16-
91
3

当QO=QP时
32+（8-3t）2=（8-2t）2
解得t1=
8+
19
5

t2=
8-
19
5
．
综上所述：当t=2或t=
16-
91
3
或t=
8+
19
5
或t=
8-
19
5
时，△OPQ是等腰三角形．
解：（1）由题意可知BC∥OA，BC=4，OA=8，OC=3
∴梯形OABC的面积=
1
2
×（4+8）×3=18
当PQ平分四边形OABC的面积时
1
2
×（t+8-2t）×3=9
解得t=2
即当t=2时，PQ平分四边形OABC的面积（3分）

（2）当PQ⊥OB时，作PM⊥OA于点M，易证△PMQ∽△BCO
∴
PM
BC
=
QM
CO
，
∴
3
4
=
8-3t
3

解得：t=
23
12

即：当t=
23
12
时，PQ⊥OB．（6分）

（3）当PQ∥AB时，
BP=AQ
∴4-t=2t
解得t=
4
3

即当t=
4
3
时，PQ∥AB（9分）

（4）当OP=PQ时，作PF⊥OA于F
则OF=QF
4t=8
t=2
OP=OQ时，青果学院
32+t2=（8-2t）2
解得t1=
16+
91
3
（不合题意，舍去）
t2=
16-
91
3

∴t=
16-
91
3

当QO=QP时
32+（8-3t）2=（8-2t）2
解得t1=
8+
19
5

t2=
8-
19
5
．
综上所述：当t=2或t=
16-
91
3
或t=
8+
19
5
或t=
8-
19
5
时，△OPQ是等腰三角形．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；解一元二次方程-公式法；等腰三角形的性质；梯形．
点C的坐标是（0，3），点B的坐标是（4，3），则一定有BC∥OA．则四边形ABCO是直角梯形．
（1）PQ平分四边形OABC的面积，则四边形OQPC的面积即可求解，且这个四边形的直角梯形或矩形，据此即可得到一个关于t的方程，即可求解；
（2）△PMQ∽△BCO时，PQ⊥OB，根据相似三角形的对应边的比相等即可求得t的值；
（3）当PQ∥AB时，四边形ABPQ是平行四边形，即BP=AQ，据此即可求解；
（4）当OP=PQ时，作PF⊥OA于F，则OF=QF，根据勾股定理即可求解．
本题主要考查了平行四边形，相似三角形的性质，勾股定理的应用，正确理解平行四边形的判定方法，从而把问题转化为方程问题是解题的关键．
代数几何综合题；压轴题；动点型．
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