试题

（2013·黄浦区一模）如图，点D是Rt△ABC斜边AB上一点，点E是直线AC左侧一点，且EC⊥CD，∠EAC=∠B．
（1）求证：△CDE∽△CBA；
（2）如果点D是斜边AB的中点，且tan∠BAC=

3

2

，试求

S△CDE

S△CBA

的值． （S_△CDE表示△CDE的面积，S_△CBA表示△CBA的面积）

（1）证明：∵EC⊥CD，
∴∠ECD=∠ACB=90°，
∴∠ECD-∠ACD=∠ACB-∠ACD，
即∠ECA=∠BCD，
又∵∠EAC=∠B，
∴△ACE∽△BCD，
∴CE：CD=AC：BC，
∴CD：BC=CE：AC．
在△CDE与△CBA中，

∠ECD=∠ACB=90° CD：BC=CE：AC

，
∴△CDE∽△CBA；

（2）解：在直角△ABC中，∵∠ACB=90°，tan∠BAC=

BC

AC

=

3

2

，
∴可设BC=3k，则AC=2k，
∴AB=

BC2+AC2

=

13

k．
∵点D是斜边AB的中点，
∴CD=

1

2

AB=

13

2

k．
∵△CDE∽△CBA，
∴

S△CDE

S△CBA

=（

CD

CB

）²=（

13 2 k

3k

）²=

13

36

．
（1）证明：∵EC⊥CD，
∴∠ECD=∠ACB=90°，
∴∠ECD-∠ACD=∠ACB-∠ACD，
即∠ECA=∠BCD，
又∵∠EAC=∠B，
∴△ACE∽△BCD，
∴CE：CD=AC：BC，
∴CD：BC=CE：AC．
在△CDE与△CBA中，

∠ECD=∠ACB=90° CD：BC=CE：AC

，
∴△CDE∽△CBA；

（2）解：在直角△ABC中，∵∠ACB=90°，tan∠BAC=

BC

AC

=

3

2

，
∴可设BC=3k，则AC=2k，
∴AB=

BC2+AC2

=

13

k．
∵点D是斜边AB的中点，
∴CD=

1

2

AB=

13

2

k．
∵△CDE∽△CBA，
∴

S△CDE

S△CBA

=（

CD

CB

）²=（

13 2 k

3k

）²=

13

36

．