试题

（2012·青浦区二模）如图，⊙O的半径为6，线段AB与⊙O相交于点C、D，AC=4，∠BOD=∠A，OB与⊙O相交于点E，设OA=x，CD=y．
（1）求BD长；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）当CE⊥OD时，求AO的长．

解：（1）∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∴∠OCA=∠ODB，
∵∠BOD=∠A，
∴△OBD∽△AOC，
∴

BD

OC

=

OD

AC

，
∵OC=OD=6，AC=4，
∴

BD

6

=

6

4

，
∴BD=9；

（2）∵△OBD∽△AOC，
∴∠AOC=∠B．
又∵∠A=∠A，
∴△ACO∽△AOB，
∴

AB

AO

=

AO

AC

，
∵AB=AC+CD+BD=y+13，
∴

y+13

x

=

x

4

，
∴y关于x的函数解析式为y=

1

4

x2-13．  定义域为2

13

＜x＜10；

（3）∵OC=OE，CE⊥OD．∴∠COD=∠BOD=∠A．
∴∠AOD=180°-∠A-∠ODC=180°-∠COD-∠OCD=∠ADO．
∴AD=AO，∴y+4=x，∴

1

4

x2-13+4=x．
∴x=2±2

10

（负值不符合题意，舍去）．
∴AO=2+2

10

．
解：（1）∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∴∠OCA=∠ODB，
∵∠BOD=∠A，
∴△OBD∽△AOC，
∴

BD

OC

=

OD

AC

，
∵OC=OD=6，AC=4，
∴

BD

6

=

6

4

，
∴BD=9；

（2）∵△OBD∽△AOC，
∴∠AOC=∠B．
又∵∠A=∠A，
∴△ACO∽△AOB，
∴

AB

AO

=

AO

AC

，
∵AB=AC+CD+BD=y+13，
∴

y+13

x

=

x

4

，
∴y关于x的函数解析式为y=

1

4

x2-13．  定义域为2

13

＜x＜10；

（3）∵OC=OE，CE⊥OD．∴∠COD=∠BOD=∠A．
∴∠AOD=180°-∠A-∠ODC=180°-∠COD-∠OCD=∠ADO．
∴AD=AO，∴y+4=x，∴

1

4

x2-13+4=x．
∴x=2±2

10

（负值不符合题意，舍去）．
∴AO=2+2

10

．