试题

（2012·青羊区一模）如图，PA为⊙O的切线，A为切点．过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B．延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E．
（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）若BC=2OC，求sinE的值．

（1）证明：连接OA
∵PA为⊙O的切线，
∴∠PAO=90°，
∵OA=OB，OP⊥AB于C，
∴BC=CA，PB=PA，
在△PBO和△PAO中

PB=PA OP=OP OB=OA

，
∴△PBO≌△PAO，
∴∠PBO=∠PAO=90°
∴PB为⊙O的切线；

（2）解：连接AD，
∵BD是直径，∠BAD=90°
由（1）知∠BCO=90°
∴AD∥OP，
∴△ADE∽△POE，
∴

EA

EP

=

AD

OP

，由AD∥OC得AD=2OC，
∵BC=2OC，设OC=t，则BC=2t，AD=2t．
∵∠OBC+∠PBC=90°，∠BOC+∠OBC=90°，
∴∠BOC=∠PBC，
∵∠OCB=∠BCP，
∴△PBC∽△BOC，
∴PC=2BC=4t，OP=5t．
∴

EA

EP

=

AD

OP

=

2

5

，可设EA=2m，EP=5m，则PA=3m．
∵PA=PB，
∴PB=3m，sinE=

PB

EP

=

3

5

．
（1）证明：连接OA
∵PA为⊙O的切线，
∴∠PAO=90°，
∵OA=OB，OP⊥AB于C，
∴BC=CA，PB=PA，
在△PBO和△PAO中

PB=PA OP=OP OB=OA

，
∴△PBO≌△PAO，
∴∠PBO=∠PAO=90°
∴PB为⊙O的切线；

（2）解：连接AD，
∵BD是直径，∠BAD=90°
由（1）知∠BCO=90°
∴AD∥OP，
∴△ADE∽△POE，
∴

EA

EP

=

AD

OP

，由AD∥OC得AD=2OC，
∵BC=2OC，设OC=t，则BC=2t，AD=2t．
∵∠OBC+∠PBC=90°，∠BOC+∠OBC=90°，
∴∠BOC=∠PBC，
∵∠OCB=∠BCP，
∴△PBC∽△BOC，
∴PC=2BC=4t，OP=5t．
∴

EA

EP

=

AD

OP

=

2

5

，可设EA=2m，EP=5m，则PA=3m．
∵PA=PB，
∴PB=3m，sinE=

PB

EP

=

3

5

．