试题

（2012·同安区一模）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC、BC，过点C的直线与AB的延长线交于点P，∠COB=2∠PCB．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若PB=2，PC=4，求AB的长．

（1）证明：∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA，
又∵∠COB为△AOC的外角，
∴∠COB=2∠OCA，又∠COB=2∠PCB，
∴∠OCA=∠PCB，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠OCA+∠OCB=90°，
∴∠PCB+∠OCB=90°，
∴∠PCO=90°，
∵点C在⊙O上，
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：由（1）得∠OCA=∠PCB，
∵∠OCA=∠A，
∴∠PCB=∠A，
又∵∠P=∠P，
∴△PBC∽△PCA，
又∵PB=2，PC=4，
∴

PB

PC

=

PC

PA

=

PC

PB+AB

，即

2

4

=

4

2+AB

，
则AB=6．
（1）证明：∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA，
又∵∠COB为△AOC的外角，
∴∠COB=2∠OCA，又∠COB=2∠PCB，
∴∠OCA=∠PCB，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠OCA+∠OCB=90°，
∴∠PCB+∠OCB=90°，
∴∠PCO=90°，
∵点C在⊙O上，
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：由（1）得∠OCA=∠PCB，
∵∠OCA=∠A，
∴∠PCB=∠A，
又∵∠P=∠P，
∴△PBC∽△PCA，
又∵PB=2，PC=4，
∴

PB

PC

=

PC

PA

=

PC

PB+AB

，即

2

4

=

4

2+AB

，
则AB=6．