试题

题目：
青果学院（2008·怀化）如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG，AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N．
求证：（1）AE=CG；（2）AN·DN=CN·MN．
答案
证明：（1）∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，
∴AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠EDG=90°，
∵∠ADE=90°+∠ADG，∠CDG=90°+∠ADG，
∴∠ADE=∠CDG，
在△ADE和△CDG中
∵
AD=CD
∠ADE=∠CDG
DE=DG
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE=CG．

（2）由（1）得△ADE≌△CDG，
则∠DAE=∠DCG，
又∵∠ANM=∠CND，
∴△AMN∽△CDN，
∴
AN
CN
=
MN
DN
，
即AN·DN=CN·MN．
证明：（1）∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，
∴AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠EDG=90°，
∵∠ADE=90°+∠ADG，∠CDG=90°+∠ADG，
∴∠ADE=∠CDG，
在△ADE和△CDG中
∵
AD=CD
∠ADE=∠CDG
DE=DG
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE=CG．

（2）由（1）得△ADE≌△CDG，
则∠DAE=∠DCG，
又∵∠ANM=∠CND，
∴△AMN∽△CDN，
∴
AN
CN
=
MN
DN
，
即AN·DN=CN·MN．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
（1）要证明AE=CG，只要证得三角形ADE和三角形CDG全等即可，根据题中的已知条件我们不难得出，AD=CD，GC=AE，∠ADE和∠GDC，又同为90°+∠ADC，那么就构成了全等三角形的判定中SAS的条件．
（2）本题可通过证明三角形AMN和三角形CDN相似来证得．
求某两条线段相等，可通过证明它们所在的三角形全等来实现．要证明某些线段成比例，可通过证明这些相关联的线段所在的三角形相似来得出所求的条件．
证明题．
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