试题

（2008·黄冈）已知：如图，在直角梯形COAB中，OC∥AB，以O为原点建立平面直角坐标系，A，B，C三点的坐标分别为A（8，0），B（8，10），C（0，4），点D为线段BC的中点，动点P从点O出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD的路线移动，移动的时间为t秒．
（1）求直线BC的解析式；
（2）若动点P在线段OA上移动，当t为何值时，四边形OPDC的面积是梯形COAB面积的

2

7

；
（3）动点P从点O出发，沿折线OABD的路线移动过程中，设△OPD的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；
（4）试探究：当动点P在线段AB上移动时，能否在线段OA上找到一点Q，使四边形CQPD为矩形？并求出此时动点P的坐标．

解：（1）设BC所在直线的解析式为y=kx+b，
因为直线BC过B（8，10），C（0，4）两点，可得：

8k+b=10 b=4

，
解得k=

3

4

，b=4，
因此BC所在直线的解析式是y=

3

4

x+4；

（2）过D作DE⊥OA，
则DE为梯形OABC的中位线，OC=4，AB=10，
则DE=7，又OA=8，得S_梯形OABC=56，
则四边形OPDC的面积为16，S_△COD=8，
∴S_△POD=8，
即

1

2

·t×7=8，
得t=

16

7

；

（3）分三种情况
①0＜t≤8，（P在OA上）
S_三角形OPD=

7

2

t
②8＜t≤18，（P在AB上）
S_三角形OPD=S_梯形OCBA-S_三角形OCD-S_三角形OAP-S_三角形PBD
=56-8-4（t-8）-2（18-t）=44-2t
（此时AP=t-8，BP=18-t）
③过D点作DM垂直y轴与M点
∴CM=3，DM=4，CD=5，
∴∠BCH的正弦值为

4

5

CP长为28-t
∴PH=22.4-0.8t
S_三角形OPD=S_三角形OPC-S_三角形ODC
=

1

2

×4（22.4-0.8t）-8
=

184

5

-

8

5

t；

（4）不能．理由如下：作CM⊥AB交AB于M，
则CM=OA=8，AM=OC=4，
∴MB=6．
∴在Rt△BCM中，BC=10，
∴CD=5，
若四边形CQPD为矩形，则PQ=CD=5，
且PQ∥CD，
∴Rt△PAQ∽Rt△BDP，
设BP=x，则PA=10-x，
∴

x

5

=

5

10-x

，
化简得x²-10x+25=0，x=5，即PB=5，
∴PB=BD，这与△PBD是直角三角形不相符因此四边形CQPD不可能是矩形．
解：（1）设BC所在直线的解析式为y=kx+b，
因为直线BC过B（8，10），C（0，4）两点，可得：

8k+b=10 b=4

，
解得k=

3

4

，b=4，
因此BC所在直线的解析式是y=

3

4

x+4；

（2）过D作DE⊥OA，
则DE为梯形OABC的中位线，OC=4，AB=10，
则DE=7，又OA=8，得S_梯形OABC=56，
则四边形OPDC的面积为16，S_△COD=8，
∴S_△POD=8，
即

1

2

·t×7=8，
得t=

16

7

；

（3）分三种情况
①0＜t≤8，（P在OA上）
S_三角形OPD=

7

2

t
②8＜t≤18，（P在AB上）
S_三角形OPD=S_梯形OCBA-S_三角形OCD-S_三角形OAP-S_三角形PBD
=56-8-4（t-8）-2（18-t）=44-2t
（此时AP=t-8，BP=18-t）
③过D点作DM垂直y轴与M点
∴CM=3，DM=4，CD=5，
∴∠BCH的正弦值为

4

5

CP长为28-t
∴PH=22.4-0.8t
S_三角形OPD=S_三角形OPC-S_三角形ODC
=

1

2

×4（22.4-0.8t）-8
=

184

5

-

8

5

t；

（4）不能．理由如下：作CM⊥AB交AB于M，
则CM=OA=8，AM=OC=4，
∴MB=6．
∴在Rt△BCM中，BC=10，
∴CD=5，
若四边形CQPD为矩形，则PQ=CD=5，
且PQ∥CD，
∴Rt△PAQ∽Rt△BDP，
设BP=x，则PA=10-x，
∴

x

5

=

5

10-x

，
化简得x²-10x+25=0，x=5，即PB=5，
∴PB=BD，这与△PBD是直角三角形不相符因此四边形CQPD不可能是矩形．