试题

（2008·邵阳）如图，将含30°角的直角三角板ABC（∠B=30°）绕其直角顶点A逆时针旋转α解（0°＜α＜90°），得到Rt△ADE，AD与BC相交于点M，过点M作MN∥DE交AE于点N，连接NC．设BC=4，BM=x，△MNC的面积为S_△MNC，△ABC的面积为S_△ABC．
（1）求证：△MNC是直角三角形；
（2）试求用x表示S_△MNC的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）以点N为圆心，NC为半径作⊙N，
①当直线AD与⊙N相切时，试探求S_△MNC与S_△ABC之间的关系；
②当S_△MNC=

1

4

S_△ABC时，试判断直线AD与⊙N的位置关系，并说明理由．

解：（1）MN∥DE，∴

AM

AD

=

AN

AE

，
又∵AD=AB，AE=AC，∴

AM

AB

=

AN

AC

，
又∵∠BAM=∠CAN，∴△ABM∽△ACN，
∴∠B=∠NCA，∴∠NCA+∠ACB=∠B+∠ACB=90°，
∴∠MCN=90°．即△MNC是直角三角形．

（2）在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，BC=4，
∴AC=2，AB=2

3

，
∴△ABM∽△ACN，∴

BM

CN

=

AB

AC

，
∴CN=

MB．AC

AB

=

2x

2 3

=

3 x

3

，
∴S_△MNC=

1

2

CM·CN=

1

2

（4-x）·

3

3

x=

3

6

（4x-x²）（0＜x＜4）．

（3）①直线AD与⊙N相切时，则AN=NC，
∵△ABM∽△ACN，
∴

AM

AN

=

MB

NC

，∴AM=MB．
∵∠B=30°∴∠α=30°，∠AMC=60°．
又∵∠ACB=90°-30°=60°
∴△AMC是等边三角形，有AM=MC=BM=

1

2

BC=2，即x=2．
S_△MNC=

3

6

（4x-x²）=

2 3

3

，∵S_△ABC=

1

2

AB·AC=2

3

，
∴S_△MNC=

1

3

S_△ABC．
②当S_△MNC=

1

4

S_△ABC时
∴S_△MNC=

3

6

（4x-x²）=

1

4

·2

3

解得x=1或x=3．
（i）当x=1时，
在Rt△MNC中，MC=4-x=3，∴MN=

NC2+MC2

=

2 21

3

∵

1

3

21

＞

1

3

3

，即AN＞NC，
∴直线AD与⊙相离．
（ii）当x=3时，
同理可求出，NC=

3

，MC=1，MN=2，AN=1
∴NC＞AN
∴直线AD与⊙相交．
解：（1）MN∥DE，∴

AM

AD

=

AN

AE

，
又∵AD=AB，AE=AC，∴

AM

AB

=

AN

AC

，
又∵∠BAM=∠CAN，∴△ABM∽△ACN，
∴∠B=∠NCA，∴∠NCA+∠ACB=∠B+∠ACB=90°，
∴∠MCN=90°．即△MNC是直角三角形．

（2）在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，BC=4，
∴AC=2，AB=2

3

，
∴△ABM∽△ACN，∴

BM

CN

=

AB

AC

，
∴CN=

MB．AC

AB

=

2x

2 3

=

3 x

3

，
∴S_△MNC=

1

2

CM·CN=

1

2

（4-x）·

3

3

x=

3

6

（4x-x²）（0＜x＜4）．

（3）①直线AD与⊙N相切时，则AN=NC，
∵△ABM∽△ACN，
∴

AM

AN

=

MB

NC

，∴AM=MB．
∵∠B=30°∴∠α=30°，∠AMC=60°．
又∵∠ACB=90°-30°=60°
∴△AMC是等边三角形，有AM=MC=BM=

1

2

BC=2，即x=2．
S_△MNC=

3

6

（4x-x²）=

2 3

3

，∵S_△ABC=

1

2

AB·AC=2

3

，
∴S_△MNC=

1

3

S_△ABC．
②当S_△MNC=

1

4

S_△ABC时
∴S_△MNC=

3

6

（4x-x²）=

1

4

·2

3

解得x=1或x=3．
（i）当x=1时，
在Rt△MNC中，MC=4-x=3，∴MN=

NC2+MC2

=

2 21

3

∵

1

3

21

＞

1

3

3

，即AN＞NC，
∴直线AD与⊙相离．
（ii）当x=3时，
同理可求出，NC=

3

，MC=1，MN=2，AN=1
∴NC＞AN
∴直线AD与⊙相交．