试题

（2008·厦门）已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕EF交AD边于E，交BC边于F，分别连接AF和CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AE=10cm，△ABF的面积为24cm²，求△ABF的周长；
（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE²=AC·AP？若存在，请说明点P的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．

（1）证明：连接EF交AC于O，
当顶点A与C重合时，折痕EF垂直平分AC，
∴OA=OC，∠AOE=∠COF=90°（1分）
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
∴△AOE≌△COF（ASA）．
∴OE=OF（2分）
∴四边形AFCE是菱形．（3分）

（2）解：四边形AFCE是菱形，∴AF=AE=10．
设AB=x，BF=y，∵∠B=90，
∴（x+y）²-2xy=100①
又∵S_△ABF=24，∴

1

2

xy=24，则xy=48．②（5分）
由①、②得：（x+y）²=196（6分）
∴x+y=14，x+y=-14（不合题意舍去）
∴△ABF的周长为x+y+AF=14+10=24．（7分）

（3）解：过E作EP⊥AD交AC于P，则P就是所求的点．（9分）
证明：由作法，∠AEP=90°，
由（1）得：∠AOE=90°，又∠EAO=∠EAP，
∴△AOE∽△AEP，
∴

AE

AP

=

AO

AE

，则AE²=AO·AP（10分）
∵四边形AFCE是菱形，∴AO=

1

2

AC，AE²=

1

2

AC·AP（11分）
∴2AE²=AC·AP（12分）
即P的位置是：过E作EP⊥AD交AC于P．
（1）证明：连接EF交AC于O，
当顶点A与C重合时，折痕EF垂直平分AC，
∴OA=OC，∠AOE=∠COF=90°（1分）
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
∴△AOE≌△COF（ASA）．
∴OE=OF（2分）
∴四边形AFCE是菱形．（3分）

（2）解：四边形AFCE是菱形，∴AF=AE=10．
设AB=x，BF=y，∵∠B=90，
∴（x+y）²-2xy=100①
又∵S_△ABF=24，∴

1

2

xy=24，则xy=48．②（5分）
由①、②得：（x+y）²=196（6分）
∴x+y=14，x+y=-14（不合题意舍去）
∴△ABF的周长为x+y+AF=14+10=24．（7分）

（3）解：过E作EP⊥AD交AC于P，则P就是所求的点．（9分）
证明：由作法，∠AEP=90°，
由（1）得：∠AOE=90°，又∠EAO=∠EAP，
∴△AOE∽△AEP，
∴

AE

AP

=

AO

AE

，则AE²=AO·AP（10分）
∵四边形AFCE是菱形，∴AO=

1

2

AC，AE²=

1

2

AC·AP（11分）
∴2AE²=AC·AP（12分）
即P的位置是：过E作EP⊥AD交AC于P．