试题

（2008·自贡）如图，A、B为⊙O上的点，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点D，若AC为∠BAD的平分线．
求证：（1）AB为⊙O的直径；（2）AC²=AB·AD．

证明：（1）连接BC，
AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠CAB．
又CD切⊙O于点C，
∴∠ACD=∠B（弦切角定理）．
∵AD⊥CD，
∴∠ACD+∠DAC=90°．
即∠B+∠CAB=90°，∴∠BCA=90°．
∴AB是⊙O的直径（90°圆周角所对弦是直径）．

（2）∵∠ACD=∠B，∠DAC=∠CAB，
∴△ACD∽△ABC．
∴

AB

AC

=

AC

AD

．
∴AC²=AB·AD．
证明：（1）连接BC，
AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠CAB．
又CD切⊙O于点C，
∴∠ACD=∠B（弦切角定理）．
∵AD⊥CD，
∴∠ACD+∠DAC=90°．
即∠B+∠CAB=90°，∴∠BCA=90°．
∴AB是⊙O的直径（90°圆周角所对弦是直径）．

（2）∵∠ACD=∠B，∠DAC=∠CAB，
∴△ACD∽△ABC．
∴

AB

AC

=

AC

AD

．
∴AC²=AB·AD．