试题

（2009·成都）已知A、D是一段圆弧上的两点，且在直线l的同侧，分别过这两点作l的垂线，垂足为B、C，E是BC上一动点，连接AD、AE、DE，且∠AED=90度．
（1）如图①，如果AB=6，BC=16，且BE：CE=1：3，求AD的长；
（2）如图②，若点E恰为这段圆弧的圆心，则线段AB、BC、CD之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明．再探究：当A、D分别在直线l两侧且AB≠CD，而其余条件不变时，线段AB、BC、CD之间又有怎样的等量关系？请直接写出结论，不必证明．

解：（1）∵AB⊥l于B，DC⊥l于C，
∴∠ABE=∠ECD=90°．
∵∠BEA+∠AED+∠CED=180°，且∠AED=90°，
∴∠CED=90°-∠BEA．
又∵∠BAE=90°-∠BEA，
∴∠BAE=∠CED．
∴Rt△ABE∽Rt△ECD．
∴

AB

EC

=

BE

CD

．
∵BE：EC=1：3  BC=16，
∴BE=4，EC=12．
又∵AB=6，
∴CD=

BE．EC

BA

=

4×12

6

=8．
在Rt△AED中，由勾股定理得
AD=

AE2+DE2

=

(AB2+BE2)+(EC2+CD2)

=2

65

．

（2）（i）猜想：AB+CD=BC．
证明：在Rt△ABE中，∵∠ABE=90°
∴∠BAE=90°-∠AEB，
又∵∠AEB+∠AED+∠CED=180°，且∠AED=90°，
∴∠CED=90°-∠AEB．
∴∠BAE=∠CED．
∵DC⊥BC于点C，
∴∠ECD=90°．
由已知，有AE=ED，
在Rt△ABE和Rt△ECD中，

∠ABE=∠ECD=90° ∠BAE=∠CED AE=ED

，
∴Rt△ABE≌Rt△ECD（AAS）．
∴AB=EC，BE=CD．
∴BC=BE+EC=CD+AB，即AB+CD=BC．

（ii）当A，D分别在直线l两侧时，线段AB，BC，CD有如下等量关系：
AB-CD=BC（AB＞CD）或CD-AB=BC（AB＜CD）．
解：（1）∵AB⊥l于B，DC⊥l于C，
∴∠ABE=∠ECD=90°．
∵∠BEA+∠AED+∠CED=180°，且∠AED=90°，
∴∠CED=90°-∠BEA．
又∵∠BAE=90°-∠BEA，
∴∠BAE=∠CED．
∴Rt△ABE∽Rt△ECD．
∴

AB

EC

=

BE

CD

．
∵BE：EC=1：3  BC=16，
∴BE=4，EC=12．
又∵AB=6，
∴CD=

BE．EC

BA

=

4×12

6

=8．
在Rt△AED中，由勾股定理得
AD=

AE2+DE2

=

(AB2+BE2)+(EC2+CD2)

=2

65

．

（2）（i）猜想：AB+CD=BC．
证明：在Rt△ABE中，∵∠ABE=90°
∴∠BAE=90°-∠AEB，
又∵∠AEB+∠AED+∠CED=180°，且∠AED=90°，
∴∠CED=90°-∠AEB．
∴∠BAE=∠CED．
∵DC⊥BC于点C，
∴∠ECD=90°．
由已知，有AE=ED，
在Rt△ABE和Rt△ECD中，

∠ABE=∠ECD=90° ∠BAE=∠CED AE=ED

，
∴Rt△ABE≌Rt△ECD（AAS）．
∴AB=EC，BE=CD．
∴BC=BE+EC=CD+AB，即AB+CD=BC．

（ii）当A，D分别在直线l两侧时，线段AB，BC，CD有如下等量关系：
AB-CD=BC（AB＞CD）或CD-AB=BC（AB＜CD）．