试题

（2009·大连）如图，矩形ABCD中，AB=6cm，AD=3cm，点E在边DC上，且DE=4cm．动点P从点A开始沿着A·B·C·E的路线以2cm/s的速度移动，动点Q从点A开始沿着AE以1cm/s的速度移动，当点Q移动到点E时，点P停止移动．若点P、Q同时从点A同时出发，设点Q移动时间为t（s），P、Q两点运动路线与线段PQ围成的图形面积为S（cm²），求S与t的函数关系式．

解：在Rt△ADE中，AE=

AD2+DE2

=

32+42

=5．（1分）
①当0＜t≤3时，如图1．（2分）
过点Q作QM⊥AB于M，连接QP．
∵AB∥CD，∴∠QAM=∠DEA，
又∵∠AMQ=∠D=90°，∴△AQM∽△EAD．
∴

QM

AD

=

AQ

AE

，∴QM=

AD·AQ

AE

=

3

5

t．（3分）
S=

1

2

AP·QM=

1

2

×2t×

3

5

t=

3

5

t²．（4分）

②当3＜t≤

9

2

时，如图2．（5分）
在Rt△ADE中，AE=

AD2+DE2

=

32+42

=5
过点Q作QM⊥AB于M，QN⊥BC于N，连接QB、QP．
∵AB∥CD，∴∠QAM=∠DEA，
又∵∠AMQ=∠ADE=90°，∴△AQM∽△EAD．
∴

QM

AD

=

AQ

AE

，

AM

DE

=

AQ

AE

，
∴QM=

AD·AQ

AE

=

3

5

t．（6分）
AM=

DE·AQ

AE

=

4

5

t，∴QN=BM=6-AM=6-

4

5

t．（7分）
∴S_△QAB=

1

2

AB·QM=

1

2

×6×

3

5

t=

9

5

t
S_△QBP=

1

2

BP·QN=

1

2

（2t-6）（6-

4

5

t）=-

4

5

t²+

42

5

t-18
∴S=S_△QAB+S_△QBP=

9

5

t+（-

4

5

t²+

42

5

t-18）=-

4

5

t²+

51

5

t-18（8分）

③当

9

2

＜t≤5时．
方法1：过点Q作QH⊥CD于H，连接QP．如图3．
由题意得QH∥AD，∴△EHQ∽△EDA，∴

QH

AD

=

QE

AE

∴QH=

AD·QE

AE

=

3

5

（5-t）（10分）
∴S_梯ABCE=

1

2

（EC+AB）·BC=

1

2

（2+6）×3=12
S_△EQP=

1

2

EP·QH=

1

2

（11-2t）×

3

5

（5-t）=

3

5

t²-

63

10

t+

33

2

∴S=S_梯ABCE-S_△EQP=12-

3

5

t²+

63

10

t-

33

2

=-

3

5

t²+

63

10

t-

9

2

．（11分）
解：在Rt△ADE中，AE=

AD2+DE2

=

32+42

=5．（1分）
①当0＜t≤3时，如图1．（2分）
过点Q作QM⊥AB于M，连接QP．
∵AB∥CD，∴∠QAM=∠DEA，
又∵∠AMQ=∠D=90°，∴△AQM∽△EAD．
∴

QM

AD

=

AQ

AE

，∴QM=

AD·AQ

AE

=

3

5

t．（3分）
S=

1

2

AP·QM=

1

2

×2t×

3

5

t=

3

5

t²．（4分）

②当3＜t≤

9

2

时，如图2．（5分）
在Rt△ADE中，AE=

AD2+DE2

=

32+42

=5
过点Q作QM⊥AB于M，QN⊥BC于N，连接QB、QP．
∵AB∥CD，∴∠QAM=∠DEA，
又∵∠AMQ=∠ADE=90°，∴△AQM∽△EAD．
∴

QM

AD

=

AQ

AE

，

AM

DE

=

AQ

AE

，
∴QM=

AD·AQ

AE

=

3

5

t．（6分）
AM=

DE·AQ

AE

=

4

5

t，∴QN=BM=6-AM=6-

4

5

t．（7分）
∴S_△QAB=

1

2

AB·QM=

1

2

×6×

3

5

t=

9

5

t
S_△QBP=

1

2

BP·QN=

1

2

（2t-6）（6-

4

5

t）=-

4

5

t²+

42

5

t-18
∴S=S_△QAB+S_△QBP=

9

5

t+（-

4

5

t²+

42

5

t-18）=-

4

5

t²+

51

5

t-18（8分）

③当

9

2

＜t≤5时．
方法1：过点Q作QH⊥CD于H，连接QP．如图3．
由题意得QH∥AD，∴△EHQ∽△EDA，∴

QH

AD

=

QE

AE

∴QH=

AD·QE

AE

=

3

5

（5-t）（10分）
∴S_梯ABCE=

1

2

（EC+AB）·BC=

1

2

（2+6）×3=12
S_△EQP=

1

2

EP·QH=

1

2

（11-2t）×

3

5

（5-t）=

3

5

t²-

63

10

t+

33

2

∴S=S_梯ABCE-S_△EQP=12-

3

5

t²+

63

10

t-

33

2

=-

3

5

t²+

63

10

t-

9

2

．（11分）