试题

（2009·甘孜州）已知如图，·ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE、BF相交于H，BF、AD的延长线相交于G．
（1）求证：AB=BH；
（2）若GA=10，HE=2．求AB的值．

（1）证明：∵DE⊥BC，BF⊥CD，
∴∠BEH=∠DEC=∠BFC=90°，
∴∠HBE+∠C=90°，∠CDE+∠C=90°，
∴∠HBE=∠CDE，
∵∠DBC=45°，∠DEB=90°，
∴∠BDE=45°=∠DBE，
∴BE=DE，
∵在△BHE和△DEC中

∠HBE=∠CDE BE=DE ∠BEH=∠DEC

，
∴△BHE≌△DEC，
∴BH=CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∴AB=BH．

（2）解：设BE=a，则BC=AD=a+2，DE=BE=a，DH=a-2，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴△DHG∽△EHB，
∴

BE

DG

=

EH

DH

，
∵AG=10，
∴

a

10-(a+2)

=

2

a-2

，
解得：a=4，
BE=DE=4，
在△DEC中，EC=EH=2，DE=4，由勾股定理得：CD=2

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，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=2

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（1）证明：∵DE⊥BC，BF⊥CD，
∴∠BEH=∠DEC=∠BFC=90°，
∴∠HBE+∠C=90°，∠CDE+∠C=90°，
∴∠HBE=∠CDE，
∵∠DBC=45°，∠DEB=90°，
∴∠BDE=45°=∠DBE，
∴BE=DE，
∵在△BHE和△DEC中

∠HBE=∠CDE BE=DE ∠BEH=∠DEC

，
∴△BHE≌△DEC，
∴BH=CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∴AB=BH．

（2）解：设BE=a，则BC=AD=a+2，DE=BE=a，DH=a-2，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴△DHG∽△EHB，
∴

BE

DG

=

EH

DH

，
∵AG=10，
∴

a

10-(a+2)

=

2

a-2

，
解得：a=4，
BE=DE=4，
在△DEC中，EC=EH=2，DE=4，由勾股定理得：CD=2

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，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=2

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