试题

题目：
青果学院（2009·吉林）如图，⊙O中，弦AB、CD相交于AB的中点E，连接AD并延长至点F，使DF=AD，连接BC、BF．
（1）求证：△CBE∽△AFB；
（2）当
BE
FB
=
5
8
时，求
CB
AD
的值．
答案
（1）证明：∵AE=EB，AD=DF，
∴ED是△ABF的中位线，
∴ED∥BF，
∴∠CEB=∠ABF，
又∵∠C=∠A，
∴△CBE∽△AFB．

（2）解：由（1）知，△CBE∽△AFB，
∴
CB
AF
=
BE
FB
=
5
8
，
又AF=2AD，
∴
CB
AD
=
5
4
．
（1）证明：∵AE=EB，AD=DF，
∴ED是△ABF的中位线，
∴ED∥BF，
∴∠CEB=∠ABF，
又∵∠C=∠A，
∴△CBE∽△AFB．

（2）解：由（1）知，△CBE∽△AFB，
∴
CB
AF
=
BE
FB
=
5
8
，
又AF=2AD，
∴
CB
AD
=
5
4
．
考点梳理
圆周角定理；三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质．
（1）首先根据三角形的中位线定理证明CD∥BF，从而得到∠ADC=∠F．根据圆周角定理的推论得到∠CBE=∠ADE；可得到∠CBE=∠F．再根据圆周角定理的推论得到∠C=∠A；根据两个角对应相等，证明两个三角形相似；
（2）根据（1）中的相似三角形的对应边成比例以及AF=2AD，可求得
CB
AD
的值．
本题主要考查三角形中位线定理、平行线的性质、圆周角定理的推论以及相似三角形的性质和判定等知识．
几何综合题．
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