试题

（2009·江苏）如图，已知射线DE与x轴和y轴分别交于点D（3，0）和点E（0，4）．动点C从点M（5，0）出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向左作匀速运动，与此同时，动点P从点D出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向作匀速运动．设运动时间为t秒．
（1）请用含t的代数式分别表示出点C与点P的坐标；
（2）以点C为圆心、

1

2

t个单位长度为半径的⊙C与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），连接PA、PB．
①当⊙C与射线DE有公共点时，求t的取值范围；
②当△PAB为等腰三角形时，求t的值．

解：（1）如图，t秒时，有PD=t，DE=5，OE=4，OD=3，
则PQ：EO=DQ：OD=PD：ED，
∴PQ=

4

5

t，DQ=

3

5

t．
∴C（5-t，0），P(3-

3

5

t，

4

5

t)．

（2）
①当⊙C的圆心C由点M（5，0）向左运动，使点A到点D并随⊙C继续向左运动时，
有5-

3

2

t≤3，即t≥

4

3

．
当点C在点D左侧时，过点C作CF⊥射线DE，垂足为F，
则由∠CDF=∠EDO，
得△CDF∽△EDO，
则

CF

4

=

3-(5-t)

5

，
解得CF=

4t-8

5

．
由CF≤

1

2

t，即

4t-8

5

≤

1

2

t，解得t≤

16

3

．
∴当⊙C与射线DE有公共点时，t的取值范围为

4

3

≤t≤

16

3

．

②当PA=AB时，过P作PQ⊥x轴，垂足为Q．
有PA²=PQ²+AQ²=

16

25

t2+(5-

3

2

t-3+

3

5

t)2．
∴

29

20

t2-

18

5

t+4=t2，
即9t²-72t+80=0，
解得t1=

4

3

，t2=

20

3

．
当PA=PB时，有PC⊥AB，此时P，C横坐标相等，
∴5-t=3-

3

5

t，
解得t₃=5；
当PB=AB时，有
PB2=PQ2+BQ2=

16

25

t2+(5-

1

2

t-3+

3

5

t)2，
∴

13

20

t2+

2

5

t+4=t2，
即7t²-8t-80=0，
解得t4=4，t5=-

20

7

（不合题意，舍去）．
∴当△PAB是等腰三角形时，t=

4

3

，或t=4，或t=5，或t=

20

3

．
又∵C是从M点向左运动的，故t=

4

3

，或t=4，或t=5或t=

20

3

．
解：（1）如图，t秒时，有PD=t，DE=5，OE=4，OD=3，
则PQ：EO=DQ：OD=PD：ED，
∴PQ=

4

5

t，DQ=

3

5

t．
∴C（5-t，0），P(3-

3

5

t，

4

5

t)．

（2）
①当⊙C的圆心C由点M（5，0）向左运动，使点A到点D并随⊙C继续向左运动时，
有5-

3

2

t≤3，即t≥

4

3

．
当点C在点D左侧时，过点C作CF⊥射线DE，垂足为F，
则由∠CDF=∠EDO，
得△CDF∽△EDO，
则

CF

4

=

3-(5-t)

5

，
解得CF=

4t-8

5

．
由CF≤

1

2

t，即

4t-8

5

≤

1

2

t，解得t≤

16

3

．
∴当⊙C与射线DE有公共点时，t的取值范围为

4

3

≤t≤

16

3

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②当PA=AB时，过P作PQ⊥x轴，垂足为Q．
有PA²=PQ²+AQ²=

16

25

t2+(5-

3

2

t-3+

3

5

t)2．
∴

29

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t2-

18

5

t+4=t2，
即9t²-72t+80=0，
解得t1=

4

3

，t2=

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3

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当PA=PB时，有PC⊥AB，此时P，C横坐标相等，
∴5-t=3-

3

5

t，
解得t₃=5；
当PB=AB时，有
PB2=PQ2+BQ2=

16

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t2+(5-

1

2

t-3+

3

5

t)2，
∴

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t2+

2

5

t+4=t2，
即7t²-8t-80=0，
解得t4=4，t5=-

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（不合题意，舍去）．
∴当△PAB是等腰三角形时，t=

4

3

，或t=4，或t=5，或t=

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3

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又∵C是从M点向左运动的，故t=

4

3

，或t=4，或t=5或t=

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3

．