试题

（2009·乐山）本题为选做题，从甲、乙两题中选做一题即可，如果两题都做，只以甲题计分．
甲题：关于x的一元二次方程x²+（2k-3）x+k²=0有两个不相等的实数根α、β．
（1）求k的取值范围；
（2）若α+β+αβ=6，求（α-β）²+3αβ-5的值．
乙题：如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=

1

4

DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的边长为4，求BG的长．

甲题：
解：（1）∵方程x²+（2k-3）x+k²=0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，即（2K-3）²-4×1×K²＞0，
解得：k＜

3

4

；
（2）由根与系数的关系得：α+β=-（2k-3），αβ=k²，
∵α+β+αβ=6，
∴k²-2k+3-6=0，
解得k=3或k=-1，
由（1）可知：k=3不合题意，舍去．
∴k=-1，
∴α+β=5，αβ=1
故（α-β）²+3αβ-5=（α+β）²-αβ-5=19．

乙题：
（1）证明：∵ABCD为正方形，
∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，
∵AE=ED，
∴

AE

AB

=

1

2

，
又∵DF=

1

4

DC，
∴

DF

DE

=

1

2

，
∴

AE

AB

=

DF

DE

，
∴△ABE∽△DEF．
（2）解：∵ABCD为正方形，
∴ED∥BG，∴

ED

CG

=

DF

CF

，
又∵DF=

1

4

DC正方形的边长为4，
∴ED=2，CG=6，
BG=BC+CG=10．
甲题：
解：（1）∵方程x²+（2k-3）x+k²=0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，即（2K-3）²-4×1×K²＞0，
解得：k＜

3

4

；
（2）由根与系数的关系得：α+β=-（2k-3），αβ=k²，
∵α+β+αβ=6，
∴k²-2k+3-6=0，
解得k=3或k=-1，
由（1）可知：k=3不合题意，舍去．
∴k=-1，
∴α+β=5，αβ=1
故（α-β）²+3αβ-5=（α+β）²-αβ-5=19．

乙题：
（1）证明：∵ABCD为正方形，
∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，
∵AE=ED，
∴

AE

AB

=

1

2

，
又∵DF=

1

4

DC，
∴

DF

DE

=

1

2

，
∴

AE

AB

=

DF

DE

，
∴△ABE∽△DEF．
（2）解：∵ABCD为正方形，
∴ED∥BG，∴

ED

CG

=

DF

CF

，
又∵DF=

1

4

DC正方形的边长为4，
∴ED=2，CG=6，
BG=BC+CG=10．